Matematyka.pl

Byłbym bardzo wdzięczny, gdyby któryś z ekspertów zamieścił tu jakieś informacje na ten temat. Z góry dziękuje, pozdrawiam

Żaden ze mnie ekspret, ale na pewno wiadomo, że wysokość padająca na przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego jest średnią geometryczną rzutów prostopadłych przyprostokątnych na przeciwprostokątną.
Ponadto widziałem kiedyś ominięcie całki oznaczonej w fizyce poprzez właśnie średnią geometryczną - o dziwo wyszło to samo. ; )

Dokładniej to chodzi mi o Średnią Geometryczna związana z Ciągiem Geometrycznym

Jesli rozwazasz trzy kolejne wyrazy ciagu geometrycznego, to modul srodkowego jest rowny sredniej geometrycznej skrajnych.

W statystyce bardzo często się przydaje w przypadku obliczania średniego tempa zmian:
\(\displaystyle{ i_{t/t-1}=\sqrt[n-1]{\frac{y_{t}}{y_{1}}}{\cdot}100}\)
Średni indeks łańcuchowy jest pierwiastkiem (n-1) stopnia z ilorazu poziomu zjawiska w ostatnimi pierwszym okresie badanym. Bardzo często podaje się go w procentach.

Spójrz na wzór średniej geometrycznej i posłuchaj, co on Ci mówi

\(\displaystyle{ G = \sqrt{a \cdot b}}\)

A jeśli jeszcze nic Ci nie mówi, to podnieś obie strony tego równania do kwadratu, by dostać:

\(\displaystyle{ G^2 = a \cdot b}\)

Teraz już coś mówi?

No zobacz: Po lewej masz \(\displaystyle{ G^2}\), czyli jakiś kwadrat o boku \(\displaystyle{ G}\). Po prawej masz \(\displaystyle{ a \cdot b}\) czyli jakiś prostokąt o bokach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Tak więc średnia geometryczna mówi:
"Mam sobie prostokąt o nierównych bokach \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\). Jaką musiałyby mieć długość, gdyby miały być jednakowe (czyli tworzyć równiutki kwadrat)?"

Średnia geometryczna może więc posłużyć do znalezienia kwadratu (o równych bokach), który ma takie samo pole, jak jakiś inny prostokąt (o nierównych bokach).

Oczywiście możesz wziąć więcej składników do takiej średniej, np. 5, a wtedy dostaniesz taki wzór:

\(\displaystyle{ G^5 = a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot e}\)

Wtedy mówi on, że pięć różnych liczb wymnożono przez siebie. Gdyby miały to być jednakowe liczby, jakie by musiały być? Odpowiedzią na to pytanie jest właśnie średnia geometryczna.