Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \log_{3x-2}(x^2-2x)>0}\)

Jak to rozwiązać ??

Ja robie tak:

Rozważam dwa przypadki: \(\displaystyle{ a\in(0;1), \: i\: a\in(1;+\infty)}\)

No i jak liczę dziedzinę dla pierwszego przypadku to mi sie wogóle ona nie zgadza. Zdaje się, że coś nakręciłem.

Jeszcze takie pytanie. Kiedy zmieniamy znak na przeciwny ?? przy opuszczaniu logarytmów jesli \(\displaystyle{ a\in(0;1)}\) ?? Napewno tak robie, gdy w podstawie mam x, a tak samo jest kiedy w podstawie jest dana liczba np. \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ??

POMOCY...

Dobra... Chyba już sam znalazłem błąd w obliceniach dziedziny.

\(\displaystyle{ x^2-2x>0\, \Longrightarrow\, x(x-2)>0\, \Longrightarrow\, x_1>0\, \wedge\, x_2>2}\)

To jest chyba źle, bo po policzeniu z delty wychodzi co innego.

\(\displaystyle{ x^2-2x+0>0\, \Longrightarrow\, \Delta=4-0=4\, \Longrightarrow\, \sqrt{\Delta}=2\, \Longrightarrow\, x_1=0\, \, x_2=1}\)

Wtedy po zaznaczeniu na osi wychodzi, że \(\displaystyle{ x\in \R - }\).
Chyba dobrze tym razem, bo wychodzi jakaś sensowna dziedzina.

Ale dalsza część posta - pytanie o zmiane znaku - nadal akutalna.

pozdrawiam

Znak nierówności zmieniamy na przeciwny, jeżeli podstawa logarytmu jest z przedzialu (0;1).
Tą nierówność musisz rozpatrzyć w dwóch przypadkach:

\(\displaystyle{ 0 1}\), ale widzę, że to uwzgledniłeś w \(\displaystyle{ x\in \R - }\)

Pozdrawiam.

Oj panowie, panowie...
Przy takim problemie należy zacząć od założen, więc:

1) \(\displaystyle{ 3x - 2 > 0\, \Longrightarrow\, x > \frac{2}{3}}\)

2) \(\displaystyle{ x^2-2x > 0\, \Longrightarrow\, x < 0\, \vee\, x >2}\)

I w tym momencie widać, że podstawa (jako, że większa od 2) nie moze byc mniejsza niz 1, czyli nierownosc nie zmieni znaku.

Rozwiazanie:

\(\displaystyle{ \log_{3x-2}(x^2-2x) > \log_{3x-2}1}\)

\(\displaystyle{ x^2-2x-1 > 0}\)

\(\displaystyle{ x\in (1+\sqrt{2} ; +\infty)}\)

Pominąłeś jedno założenie, że 3x-2 nie może być równe 1, ale to i tak nie zmienia rozwiązania zadania.