Matematyka.pl

Obliczyć granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty } \frac{2 (\frac{1}{3}) ^{t} ( t \ln ( \frac{1}{3} ) - 1) }{ (\ln( \frac{1}{3} ))^{2} }}\)


Czyli mamy, że \(\displaystyle{ \lim_{ t\to \infty } (\frac{1}{3}) ^{t} =0}\) oraz \(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty } \frac{2 ( t \ln ( \frac{1}{3} ) - 1) }{ (\ln( \frac{1}{3} ))^{2} }= \infty}\) więc jest to symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ 0 \cdot \infty}\) z którym nie wiem co zrobić

A może na początek warto by było pomyśleć nad podstawieniem: \(\displaystyle{ x= \left( \frac{1}{3} \right)^t}\)?
Dalej jeżeli nic ładnego nie pójdzie wykombinować, to myślę, że można z delopitala polecieć.

Poleciałam z delopitala, proszę tylko o sprawdzenie

\(\displaystyle{ \lim_{t \to \infty } \frac{2 (\frac{1}{3}) ^{t} ( t \ln ( \frac{1}{3} ) - 1) }{ (\ln( \frac{1}{3} ))^{2} } = \lim_{t \to \infty } \frac{2 ( t \ln ( \frac{1}{3} ) - 1) }{ 3^{t} (\ln( \frac{1}{3} ))^{2} }=[H]= \lim_{t \to \infty } \frac{2\ln( \frac{1}{3} )}{3^{t}\ln(3)(\ln(\frac{1}{3}))^{2}}=\lim_{t \to \infty } \frac{(\frac{1}{3})^{t}2\ln( \frac{1}{3} )}{\ln(3)(\ln(\frac{1}{3}))^{2}}=0}\)

Chyba jest ok. Przewidziało mi się, że w mianowniku jest logarytm z \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{3} \right)^t}\) i problem wydawał mi się trochę bardziej zagmatwany


Pozdrawiam.