Matematyka.pl

Ostatnio spotkałam się z poniższą równością i nie wiem, czy to zachodzi w ogólności, czy nie. Może ktoś poradzi?
\(\displaystyle{ \int_{(R)}^{} \frac{\partial g}{\partial t}dV = \frac{d}{dt} \int_{(R)}^{}gdV}\)

Na ogół nie zachodzi.

\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}g\mbox{d}V}\)

to liczba rzeczywista, o ile całka istnieje, jeśli zróżniczkujemy, otrzymamy zero niezależnie od \(\displaystyle{ g}\).

Przy stosownych założeniach zachodzi natomiast:

\(\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}}^{} \frac{\partial g}{\partial t}\mbox{d}V = \frac{d}{dt} \int_{[0,t]}g\mbox{d}V}\).

Wystarczające jest istnienie wszystkich całek w napisie powyżej oraz ciągłość \(\displaystyle{ \frac{\partial g}{\partial t}}\).