Matematyka.pl

Dowód wzoru Newtona \(\displaystyle{ (x+y) ^{m}=\sum_{i=0}^{m}{m\choose i}x ^{i}y ^{m-i}}\) jest dość jasny.
Podobna zależność zachodzi dla potęgi ubywającej:

\(\displaystyle{ (x+y) ^{\underline m}=\sum_{i=0}^{m}{m\choose i}x ^{\underline i}y ^{\underline {m-i}}}\)

Proszę o pomoc w sprawie dowodu tej zależności.

Dodam, że zachodzą wzory:
\(\displaystyle{ x ^{\underline {m+n}}=x ^{\underline m}(x-m) ^{\underline n}}\)

\(\displaystyle{ x ^{\underline m}=x(x-1)(x-2)...(x-m+1)}\) - potęga ubywająca, po prawej stronie mamy \(\displaystyle{ m}\) czynników.

Dowodzi się tego tak samo jak dla zwykłego wzoru Newtona, to znaczy indukcyjnie. Mamy:

\(\displaystyle{ (x+y) ^{\underline{m+1}}=(x+y) ^{\underline{m}}\cdot (x+y-m)=
\sum_{i=0}^{m}{m\choose i}x ^{\underline i}y ^{\underline {m-i}}(x+y-m) = \\ =
\sum_{i=0}^{m}{m\choose i}x ^{\underline i}y ^{\underline {m-i}}[(x-i)+(y-m+i)] = \\ =
\sum_{i=0}^{m}{m\choose i}x ^{\underline i}y ^{\underline {m-i}}(x-i) +
\sum_{i=0}^{m}{m\choose i}x ^{\underline i}y ^{\underline {m-i}}(y-m+i) = \\ =
\sum_{i=0}^{m}{m\choose i}x ^{\underline {i+1}}y ^{\underline {m-i}} +
\sum_{i=0}^{m}{m\choose i}x ^{\underline i}y ^{\underline {m-i+1}}= \\ =
\sum_{i=1}^{m+1}{m\choose i-1}x ^{\underline {i}}y ^{\underline {m-i+1}}+
\sum_{i=0}^{m}{m\choose i}x ^{\underline i}y ^{\underline {m-i+1}} = \\ =
\sum_{i=0}^{m+1}{m\choose i-1}x ^{\underline {i}}y ^{\underline {m-i+1}}+
\sum_{i=0}^{m+1}{m\choose i}x ^{\underline i}y ^{\underline {m-i+1}} = \\ =
\sum_{i=0}^{m+1} \left({m\choose i-1} + {m\choose i} \right) x ^{\underline i}y ^{\underline {m-i+1}} = \\ =
\sum_{i=0}^{m+1}{m+1\choose i} x ^{\underline i}y ^{\underline {m-i+1}}}\)

(druga równość to skorzystanie z założenia indukcyjnego, szósta równość to przesunięcie wskaźnika sumowania, siódma skorzystanie z tego, że \(\displaystyle{ {n \choose k} =0}\) dla \(\displaystyle{ k<0}\) i dla \(\displaystyle{ k>n}\), więc to co dołożyliśmy to zera)

Q.