Matematyka.pl

niech \(\displaystyle{ f(x)=\frac{2x}{1+e^x}}\). udowodnij ze dla kazdego n \(\displaystyle{ f^{(n)}(0)}\) jest całkowite

Funkcja przypomina nieco funkcję generującą liczby Bernoulliego (oznaczenie: \(\displaystyle{ B_n}\)). Póki co zaobserwujmy, że:

\(\displaystyle{ f(x) = \frac{2x}{1+e^x} = \frac{2x}{1-e^x}-\frac{4x}{e^{2x}-1}}\)

Rozpisując:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}2B_n \frac{x^n}{n!}-\sum_{n=0}^{\infty}2B_n \frac{2^n x^n}{n!}=
\sum_{n=0}^{\infty}2\left(1-2^n\right)B_n \frac{x^n}{n!}}\)

Wartość \(\displaystyle{ n}\)-pochodnej możemy zatem odczytać bezpośrednio:

\(\displaystyle{ f^{(n)}(0)=2\left(1-2^n\right)B_n}\)

Dla nieparzystych \(\displaystyle{ n}\) wartość powyższa równa jest zeru. By przekonać się, że dla \(\displaystyle{ n=2k}\) pochodne w zerze są całkowite, możemy, chcąc wykpić się od obliczeń, można spróbować użyć twierdzenia Staudta-Clausena; póki co zostawiam tę, może w sumie najciekawszą, część.

Spróbuj udowodnić indukcyjne taki lemat :dla każdego \(\displaystyle{ n\geq 0}\) istnieją wielomiany o współczynnikach całkowitych \(\displaystyle{ P_n(x)}\) i \(\displaystyle{ Q_n(x)}\) takie, że
\(\displaystyle{ f^{(n)}(x)=\frac{xP_n(e^x)+Q_n(e^x)}{(1+e^x)^{2n}}}\)

Pytanie: czy można bez liczb Bernoulliego ?;
szkic
\(\displaystyle{ 2x = f(x)(1+e^x)}\) tj. \(\displaystyle{ (1+e^x)f^{\prime} (x) =-f(x) e^x +2}\) itd ogólniej \(\displaystyle{ (1+e^x) f^{(n)}(x)
= \sum_{k<n} a_k e^x f^{(k)} (x)}\)