Matematyka.pl

Zbiorem wszytkich \(\displaystyle{ m \in\mathbb{R}}\), dla których równanie \(\displaystyle{ \sin x + \sin ^ 2x + \sin ^ 3x + \ldots = m -1}\) ma rozwiązanie, jest ??

Prosze o pomoc w rozwiazaniu.

Lewa strona jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego, w którym \(\displaystyle{ a_{1}= \sin x}\) oraz \(\displaystyle{ q= \sin x}\) więc suma ta będzie wyglądać tak \(\displaystyle{ \frac{ \sin x }{1- \sin x }=m-1}\) pozostało Ci do rozwiązania proste równanie trygonometryczne.

no własnie dotad własnie doszedlem kompletnie nie umiem tego

Należy przyjąć, że lewa strona to szereg geometryczny zbieżny, więc \(\displaystyle{ \sin x \neq 1\,\,\vee\,\, \sin x \neq -1}\). Więc obiektem naszych badań będzie równanie:

\(\displaystyle{ \frac{ \sin x }{1- \sin x }=m-1}\)

Po małej zabawie mamy: \(\displaystyle{ m=\frac{1}{1- \sin x }}\)

\(\displaystyle{ 1- \sin x \in \left( 0;2 \right) \\ \frac{1}{1- \sin x }\in \left( \frac{1}{2};\infty \right)}\)

Rozwiązanie: \(\displaystyle{ m\in \left( \frac{1}{2};\infty \right)}\)