Matematyka.pl

Liczbę naturalną m nazywamy doskonałą, jeśli suma wszystkich dzielników naturalnych liczby m, mniejszych od m, jest równa m.
Wykaż że jeśli \(\displaystyle{ 2^{n+1} -1}\) jest liczbą pierwszą, to:
\(\displaystyle{ 2^{n}(2^{n+1} -1)}\)
jest liczbą doskonałą

Niech \(\displaystyle{ p=2^{n+1}-1}\). Niech \(\displaystyle{ S(x)}\) oznacza sume dzielnikow liczby \(\displaystyle{ x}\).

\(\displaystyle{ S(2^np) = 1+\ldots + 2^n + p(1+\ldots +2^n) = (1+\ldots +2^n)(p+1) = 2^{n+1}(2^{n+1}-1)}\), odejmijmy sobie te liczbe:

\(\displaystyle{ 2^{n+1}(2^{n+1}-1) - 2^n(2^{n+1}-1) = 2^n(2^{n+1}-1)}\), co konczy dowod.

wielkie dzieki! narazie nie rozumiem jeszcze bo mnie głowa boli (mam zapalenie oskrzeli) ale jak bede zdrowy to spróbuje, jeszcze raz dzieki