r-nie tryg
: 14 maja 2006, o 17:17
\(\displaystyle{ \sin^5x+\cos^5x=\sin^4x-2}\)
jak?
jak?
Strona 1 z 2
r-nie tryg
: 14 maja 2006, o 18:21
Sprobuj to rozpisac ze wzoru na sume piatych poteg, potem jakas zmienna pomocnicza albo cos. Powinno wyjsc
r-nie tryg
: 14 maja 2006, o 18:55
Rozwiązanie to:
\(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{2}+2k{\pi}}\)
\(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{2}+2k{\pi}}\)
r-nie tryg
: 14 maja 2006, o 19:31
ale jak? probowalem i z poteg i z szacowania i dupa
r-nie tryg
: 14 maja 2006, o 19:43
\(\displaystyle{ \sin^5x+\cos^5x=\sin^4x-2}\)
Lewa strona \(\displaystyle{ \in[-1,1]}\), a prawa strona \(\displaystyle{ \in[-2,-1]}\)
Wniosek taki, że musi zajść następująca sytuacja \(\displaystyle{ \sin^5x+\cos^5x=-1\,\,\wedge\,\,\sin^4x-2=-1}\)
Dalej sobie poradzisz.
Lewa strona \(\displaystyle{ \in[-1,1]}\), a prawa strona \(\displaystyle{ \in[-2,-1]}\)
Wniosek taki, że musi zajść następująca sytuacja \(\displaystyle{ \sin^5x+\cos^5x=-1\,\,\wedge\,\,\sin^4x-2=-1}\)
Dalej sobie poradzisz.
r-nie tryg
: 14 maja 2006, o 20:41
a wykaz że \(\displaystyle{ L \in\langle-1,1 \rangle}\)???
a to że \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{2}}\) tez wiem, mathematica mi powiedziala
a to że \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{2}}\) tez wiem, mathematica mi powiedziala
r-nie tryg
: 14 maja 2006, o 20:44
Pomyliłeś się. Prawa strona należy do przedziału \(\displaystyle{ [-3,-1]. }\)
r-nie tryg
: 14 maja 2006, o 20:44
wykaż
r-nie tryg
: 14 maja 2006, o 20:49
Wg Ciebie \(\displaystyle{ t^4}\) przy jakimstam \(\displaystyle{ t}\) rzeczywistym przyjmuje kiedys wartosc ujemna?
r-nie tryg
: 14 maja 2006, o 21:12
Przepraszam, to bylo do Grzegorza G.. Uwaza On, ze prawa strona moze przyjmowac wartosc \(\displaystyle{ -3}\).
\(\displaystyle{ \sin^4 x -2 \geq 0-2 = -2}\).
\(\displaystyle{ \sin^4 x -2 \geq 0-2 = -2}\).
r-nie tryg
: 14 maja 2006, o 21:17
Grzegorz Getka - oj... 
Mapedd - zrobisz warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji, potem za pomocą drugiej pochodnej wykluczysz istnienie punktów przegięcia dla pewnych \(\displaystyle{ x}\), pozostaną ekstrema. Dla tych punktów sprawdzisz wartość funkcji, wybierzesz najmniejszą i największą i myślę, że po sprawie.r-nie tryg
: 14 maja 2006, o 21:59
Przepraszam za pomyłkę, prawa strona oczywiście mieści się w przedziale \(\displaystyle{ [-2,-1].}\).
r-nie tryg
: 15 maja 2006, o 01:45
\(\displaystyle{ f(x)= \sin ^ 5x+ \cos ^ 5x}\)
\(\displaystyle{ f' \left( x \right) =5 \left( \sin ^ 4x \cos x - \cos ^ 4x \sin x \right) =\frac{5}{2} \sin 2 x \left( \sin ^ 3x- \cos ^ 3x \right) = \\ = \frac{5}{2} \sin 2 x \left( \sin x - \cos x \right) \left( \sin ^ 2x+ \sin x \cos x + \cos ^ 2x \right) =\frac{5}{2} \sin 2 x \left( \sin x - \cos x \right) \left( 1+\frac{1}{2} \sin 2 x \right)}\)
warunek konieczny:\(\displaystyle{ f'(x)=0 \Leftrightarrow \sin 2 x=0\:\vee\: \sin x = \cos x \:\vee\: \sin 2 x=-2}\)
\(\displaystyle{ 2x=k\pi \: \vee \: x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \: \vee \: x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \: \vee \: x \in \emptyset}\)
czyli:
\(\displaystyle{ x=\frac{k\pi}{2} \: \vee \: x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \: \vee \: x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \: ,k \in \mathbb{C}}\)
dalej:
\(\displaystyle{ f'' \left( x \right) = \large 5{ \left[ \left[ 4 \sin ^ 3x \cdot \cos x \cdot \cos x + \sin ^ 4x \cdot \left( - \sin x \right) \right] - \left[ 4 \cos ^ 3x \cdot \left( - \sin x \right) \cdot \sin x + \cos ^ 4x \cdot \cos x \right] \right] }= \\ = 5 \left[ 4 \sin ^ 2x \cos ^ 2x \left( \sin x + \cos x \right) - \left( \sin ^ 5x+ \cos ^ 5x \right) \right]}\)
no to: umówmy sie ze \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N}^+}\)
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{k\pi}{2} \right) =\left\{\begin{array}{I}0 \:\text{dla} \: k=0,2,4... \\ 1 \: \text{dla} \:k=1,5,9...\\ -1 \:\text{dla} \: k=3,7,11..\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ \cos \left( \frac{k\pi}{2} \right) =\left\{\begin{array}{I}0 \:\text{dla} \: k=1,3,5... \\ 1 \: \text{dla} \:k=0,4,8...\\ -1 \:\text{dla} \: k=2,6,8..\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ f'' \left( \frac{k\pi}{2} \right) =}\) to nie ma sensu...
kto umie ładnie wyznaczyc ładnie zbiór wartosci zadanego \(\displaystyle{ f(x)}\)???
\(\displaystyle{ f' \left( x \right) =5 \left( \sin ^ 4x \cos x - \cos ^ 4x \sin x \right) =\frac{5}{2} \sin 2 x \left( \sin ^ 3x- \cos ^ 3x \right) = \\ = \frac{5}{2} \sin 2 x \left( \sin x - \cos x \right) \left( \sin ^ 2x+ \sin x \cos x + \cos ^ 2x \right) =\frac{5}{2} \sin 2 x \left( \sin x - \cos x \right) \left( 1+\frac{1}{2} \sin 2 x \right)}\)
warunek konieczny:\(\displaystyle{ f'(x)=0 \Leftrightarrow \sin 2 x=0\:\vee\: \sin x = \cos x \:\vee\: \sin 2 x=-2}\)
\(\displaystyle{ 2x=k\pi \: \vee \: x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \: \vee \: x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \: \vee \: x \in \emptyset}\)
czyli:
\(\displaystyle{ x=\frac{k\pi}{2} \: \vee \: x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \: \vee \: x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \: ,k \in \mathbb{C}}\)
dalej:
\(\displaystyle{ f'' \left( x \right) = \large 5{ \left[ \left[ 4 \sin ^ 3x \cdot \cos x \cdot \cos x + \sin ^ 4x \cdot \left( - \sin x \right) \right] - \left[ 4 \cos ^ 3x \cdot \left( - \sin x \right) \cdot \sin x + \cos ^ 4x \cdot \cos x \right] \right] }= \\ = 5 \left[ 4 \sin ^ 2x \cos ^ 2x \left( \sin x + \cos x \right) - \left( \sin ^ 5x+ \cos ^ 5x \right) \right]}\)
no to: umówmy sie ze \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N}^+}\)
\(\displaystyle{ \sin \left( \frac{k\pi}{2} \right) =\left\{\begin{array}{I}0 \:\text{dla} \: k=0,2,4... \\ 1 \: \text{dla} \:k=1,5,9...\\ -1 \:\text{dla} \: k=3,7,11..\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ \cos \left( \frac{k\pi}{2} \right) =\left\{\begin{array}{I}0 \:\text{dla} \: k=1,3,5... \\ 1 \: \text{dla} \:k=0,4,8...\\ -1 \:\text{dla} \: k=2,6,8..\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ f'' \left( \frac{k\pi}{2} \right) =}\) to nie ma sensu...
kto umie ładnie wyznaczyc ładnie zbiór wartosci zadanego \(\displaystyle{ f(x)}\)???
r-nie tryg
: 15 maja 2006, o 21:46
No a jak byś napisał, że
\(\displaystyle{ f''(x) = 5[\sin^{2} 2x (\sin x + \cos x) - (\sin x + \cos x) (\sin^{4} x + \sin^{3} x \cos x + \sin^{2} x \cos^{2} x + \sin x \cos^{3} x + \cos^{4} x)] = \\ = 5(\sin x + \cos x)(\sin^{2} 2x - (\sin^{4} x + \cos^{4} x + \sin x \cos x(\sin^{2} x + \cos^{2} x) + \frac{1}{4} \sin^{2} 2x)) = \\ = 5(\sin x + \sin (\frac{\pi}{2} - x))(\sin^{2} 2x - ((\sin^{2} + \cos^{2} x)^{2} - 2 \sin^{2} x \cos^{2} x + \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{4} \sin^{2} 2x)) = \\ = 5 2 \sin \frac{\pi}{4} \sin (x - \frac{\pi}{4}) (\sin^{2} 2x - 1 + \frac{1}{2} \sin^{2} 2x - \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{1}{4} \sin^{2} 2x) = \\ = 5\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})(\frac{5}{4} \sin^{2} 2x - \frac{1}{2} \sin 2x - 1) = 20\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})(\sin^{2} 2x - 2\sin 2x - 4)}\)
to może by Ci to coś pomogło? To kwadratowe w nawiasie się rozkłada dość brzydko, do obliczania wartości funkcji niepotrzebne.
Acz najlepiej zrobić, tak jak Ci wyżej proponowali.
\(\displaystyle{ f''(x) = 5[\sin^{2} 2x (\sin x + \cos x) - (\sin x + \cos x) (\sin^{4} x + \sin^{3} x \cos x + \sin^{2} x \cos^{2} x + \sin x \cos^{3} x + \cos^{4} x)] = \\ = 5(\sin x + \cos x)(\sin^{2} 2x - (\sin^{4} x + \cos^{4} x + \sin x \cos x(\sin^{2} x + \cos^{2} x) + \frac{1}{4} \sin^{2} 2x)) = \\ = 5(\sin x + \sin (\frac{\pi}{2} - x))(\sin^{2} 2x - ((\sin^{2} + \cos^{2} x)^{2} - 2 \sin^{2} x \cos^{2} x + \frac{1}{2} \sin 2x + \frac{1}{4} \sin^{2} 2x)) = \\ = 5 2 \sin \frac{\pi}{4} \sin (x - \frac{\pi}{4}) (\sin^{2} 2x - 1 + \frac{1}{2} \sin^{2} 2x - \frac{1}{2} \sin 2x - \frac{1}{4} \sin^{2} 2x) = \\ = 5\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})(\frac{5}{4} \sin^{2} 2x - \frac{1}{2} \sin 2x - 1) = 20\sqrt{2} \sin(x - \frac{\pi}{4})(\sin^{2} 2x - 2\sin 2x - 4)}\)
to może by Ci to coś pomogło? To kwadratowe w nawiasie się rozkłada dość brzydko, do obliczania wartości funkcji niepotrzebne.
Acz najlepiej zrobić, tak jak Ci wyżej proponowali.
r-nie tryg
: 16 maja 2006, o 09:13
Mapedd - Generalnie chodziło mi o to, żebyś sprawdził znak drugiej pochodnej w miejscach gdzie pierwsza się zeruje. W ten sposób wyciągniesz z tego ekstrema. Sprawdzisz wartości dla tych punktów i już w zasadzie będzie zakres wartości jakie przyjmuje funkcja.