Matematyka.pl

Jeżeli \(\displaystyle{ \tg \alpha =2}\), to ile wynosi \(\displaystyle{ \alpha}\)?

Muszę policzyć albo \(\displaystyle{ \sin\alpha}\), albo \(\displaystyle{ \cos\alpha}\)...

Proszę o podpowiedź.

Skoro \(\displaystyle{ 2=\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}\), to \(\displaystyle{ \sin\alpha}\) i \(\displaystyle{ \cos\alpha}\) mają ten sam znak. Co więcej, mamy \(\displaystyle{ \sin\alpha=2\cos\alpha}\), skąd \(\displaystyle{ 1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha=4\cos^2\alpha}\), więc mamy \(\displaystyle{ \cos^2\alpha=\frac{1}{5}}\). Zatem \(\displaystyle{ \cos\alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5}}\) lub \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}}\) i odpowiednio \(\displaystyle{ \sin\alpha=-\frac{2\sqrt{5}}{5}}\) lub \(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\).

lukasz1804 pisze: skąd \(\displaystyle{ 1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha=4\cos^2\alpha}\), więc mamy \(\displaystyle{ \cos^2\alpha=\frac{1}{5}}\). Zatem \(\displaystyle{ \cos\alpha=-\frac{\sqrt{5}}{5}}\) lub \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}}\) i odpowiednio \(\displaystyle{ \sin\alpha=-\frac{2\sqrt{5}}{5}}\) lub \(\displaystyle{ \sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\).

nie rozumiem tego... tzn rozumiem ze jest to przeksztalcona jedynka trygonometryczna ale jak to sie ma do \(\displaystyle{ sin \alpha = 2cos \alpha}\) ?

Tak, że:

\(\displaystyle{ 2=\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}\)

więc stosunek jest 2:1
i z proporcji wychodzi, że

\(\displaystyle{ sin \alpha = 2cos \alpha}\)