XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
: 6 lis 2009, o 15:46
autor: monte1810
Witam. Mam zadania z tegorocznego konkursu matematycznego im. prof. J. Marszała dla klas pierwszych z etapu powiatowego.
Będę bardzo wdzięczna za rozwiązanie tych zadań
Zadanie 2.
Ile boków ma wielokąt, jeżeli ich liczba jest k razy większa od liczby przekątnych wychodzących z jednego wierzchołka?
Zadanie 3.
Znaleźć taką najmniejszą liczbę naturalną n, aby liczby postaci n+1 oraz n-110 były kwadratami liczb naturalnych.
Z góry dziękuję
Pozdrawiam ;*
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
: 6 lis 2009, o 15:59
autor: krystian8207
1.Mnozysz przez nawias po prawej potem przezucasz na lewo i doszukujesz sie wz. skr. mn.
Wyjdzie ci suma trzech kwadratow rownych zero. Potem przyrownujesz podstawe kazdej z trzech poteg (osobno) do zera. I wyliczasz x, y i z.
O ile dobrze pamietam to wyszlo mi \(\displaystyle{ x= \frac{1}{2}, y= \frac{1}{3}, z= \frac{1}{4}}\)
W drugim trzeba zauwazyc, że ilosc bokow jest zawsze o 3 wieksza od ilosci przekatnych.
A w trzecim to wiem, ze ma byc 399 ale nie potrafilem tego policzyc ukladem. Poprostu rozpisalem kwadraty liczb od 1 do 20 i wyszukalem ta liczbe n.
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
2. kontrowersyjne, ja uznałem że k nie musi być całkowite, niektórzy inaczej.
Ukryta treść:
Ogólnie to liczba przekątnych to n-3, więc \(\displaystyle{ k(n-3)=n \Leftrightarrow kn-3k=n \Leftrightarrow n(k-1)=3k \Leftrightarrow n= \frac{3k}{k-1}}\).
Jakby szukać w liczbach naturalnych, to wychodzi że 3 musi dzielić się przez k-1, z czego n=4 lub n=6
3.
Ukryta treść:
łatwe, dostajemy równanie diofantyczne \(\displaystyle{ (x+y)(x-y)=111}\). ostatecznie n=399.
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
: 6 lis 2009, o 16:54
autor: krystian8207
Ej w tym trzecim to jak to rownanie diofantyczne rozwiazac?
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
: 6 lis 2009, o 16:58
autor: knrdk
Zadania dla klas trzecich.
1. Rozwiązać w liczbach całkowitych: \(\displaystyle{ x + y = x^{2} -xy + y^{2}}\)
2. \(\displaystyle{ h _{a},h _{b},h _{c}}\) są wysokościami trójkąta, a r promieniem okręgu wpisanego na tym trójkącie, udowodnić że: \(\displaystyle{ \frac{h _{a} + h _{b} + h _{c}}{3} \ge 3r}\)
3. Dowieść że dla liczb a,b,c dodatnich zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \frac{ab}{a + b} + \frac{bc}{b + c} + \frac{ac}{a + c} \le \frac{a + b + c}{2}}\)
ad.1
Ukryta treść:
Przekształcamy do postaci: \(\displaystyle{ x^{2} -x(y+1) + y^{2}-y = 0}\) \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\) dostajemy stąd \(\displaystyle{ y \in \lbrace 0,1,2 \rbrace}\)
Rozpatrujemy trzy przypadki w zależności od y, skąd po rozwiązaniu równań kwadratowych dostajemy rozwiązania (x,y): (0,0),(2,2),(1,0),(0,1),(2,1),(1,2)
ad.2
Ukryta treść:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}(a+b+c)r \Rightarrow r = \frac{2P}{a + b +c}}\) \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}a h_{a} \Rightarrow h_{a}= \frac{2P}{a}}\) \(\displaystyle{ h_{b}= \frac{2P}{b}}\) \(\displaystyle{ h_{c}= \frac{2P}{c}}\)
Podstawiając do nierówności z zadania: \(\displaystyle{ \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} \ge 9 \frac{1}{a+b+c}}\) \(\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} \ge 6}\)
A to zachodzi na podstawie lematu: \(\displaystyle{ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2}\) \(\displaystyle{ x ^{2} - 2xy + y ^{2} \ge 0}\) \(\displaystyle{ (x-y) ^{2} \ge 0}\)
ad.3
Ukryta treść:
Z nierówności Cauchy'ego dostajemy: \(\displaystyle{ \frac{2}{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \le \frac{a + b}{2}}\) Co po przekształceniach daje: \(\displaystyle{ \frac{ab}{a+b} \le \frac{a+b}{4}}\)
Podobnie dla b,c i a,c \(\displaystyle{ \frac{bc}{b+c} \le \frac{b+c}{4}}\) \(\displaystyle{ \frac{ac}{a+c} \le \frac{a+c}{4}}\)
Dodając te trzy nierówności stronami otrzymujemy: \(\displaystyle{ \frac{ab}{a + b} + \frac{bc}{b + c} + \frac{ac}{a + c} \le \frac{a + b + c}{2}}\)
Czyli tezę zadania.
Krystian -> rozkład liczby 111 na czynniki pierwsze.
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
\(\displaystyle{ \frac{b+c}{2} \ge \frac{2}{ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c} }}\)
dodajemy stronami wyliczamy i koniec
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
: 6 lis 2009, o 17:36
autor: Desmondo
To ja jeszcze wrzucę zadania dla klas drugich.
1. Rozwiązać układ równań: \(\displaystyle{ \begin{cases} x(x+1)(3x+5y)=144\\x^{2}+4x+5y=24\end{cases}}\)
2. Podać wymiary takiego prostokąta, którego pole jest największe przy stałym obwodzie m.
3. Dowieść, że jeżeli \(\displaystyle{ x,y \ge 0}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{2^{4}}(xy+2x+2y+4) \ge \frac{xy}{x+y}}\). Uzasadnić, kiedy zachodzi równość.
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
: 6 lis 2009, o 18:26
autor: monte1810
Ale głupi błąd palnęłam ;P
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
: 6 lis 2009, o 19:57
autor: rutra
Nad 1. zadaniem długo się męczyłem, kombinowałem.
\(\displaystyle{ 4x ^{2}+9y ^{2}}\) dałem wzór skróconego mnożenia \(\displaystyle{ (2x+3y)(2x+3y)}\)
Później jakość pokombinowałem, za x podstawiłem 1, za y podstawiłem 2 i obliczyłem z, ale to chyba źle.
Jeśli chodzi o drugie zadanie to mi wyszły 4 boki.
Natomiast trzecie zrobiłem wtabelce. W 1. kolumnie dałem n, w drugiej n+1, w trzeciej n-110. Tam gdziejest n+1 dawałem kolejno 121, 169, 196... czyli kwadraty kolejnych liczb, obliczałem n, oraz n-110 i wkońcu wyszło n+1=400 n=399 n-110=289
Jest kwadrat liczby naturalnej, więc szukane \(\displaystyle{ n=399.}\)
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
: 6 lis 2009, o 20:08
autor: agus03A
Rozwiążcie prosze zadania dla klasy 2 ;]
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
: 6 lis 2009, o 20:31
autor: jerzozwierz
2 klasa:
1.
Ukryta treść:
zauważ, że pierwsze równanie to \(\displaystyle{ (x^{2}+x)(3x+5y)}\). Podstawimy teraz sobie \(\displaystyle{ a=x^{2}+x \wedge b=3x+5y}\).
Mamy układ: \(\displaystyle{ \begin{cases} ab=144 \\ a+b=24 \end{cases}}\). Dalej łatwo.
2.
Ukryta treść:
Banał jak ze sprawdzianu dla humana.
3.
Ukryta treść:
Pomnożyć przez 2(x+y) obie strony, wymnożyć to co po lewej, potem cauchy \(\displaystyle{ \frac{x^{2}y+2x^{2}+2xy+4x+xy^{2}+2xy+2y^2+4y}{8} \ge \sqrt[8]{2^{8}x^{8}y^{8}} =2xy}\) co kończy dowód. Równość wtedy gdy wszystkie są równe, nietrudno znaleźć.
Wszystkie klasy strasznie proste te zadania
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
: 7 lis 2009, o 15:41
autor: prox
jerzozwierz, co do zadania 3 dla klas II to chyba chodzilo ci o obustronne pomnozenie przez 2(x+y), a nie 2xy
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
: 7 lis 2009, o 16:09
autor: jerzozwierz
Racja, pomyłka Poprawione.-- 11 lis 2009, o 12:12 --Wie ktoś może gdzie (i kiedy) szukać wyników?
XXV Konkurs Matematyczny im. prof. J. Marszała(e. powiatowy)
: 13 lis 2009, o 16:38
autor: Matti91
Ktoś może wie na jakiej podstawie kwalifikują do następnego etapu? Bo wg regulaminu wystarczy zdobyć jedno z trzech pierwszych miejsc w powiecie. Jednak patrząc na listę osób z ubiegłego roku to nie z każdego powiatu jest te 3 osoby Jak by ktoś wiedział to proszę o odpowiedź
Wyniki powinny się ukazać na stronie:
Konkurs odbędzie się w tym samym dniu (27.11) co rozszerzona matura z Operonu ...
Proszę o kontakt w sprawie zmiany terminu finału XXV KM na 4 grudnia 2009 z powodu Matury Próbnej Operon na poziomie rozszerzonym. W tej sprawie były telefony od Przewodniczących Komisji Powiatowych.
Proszę o pilny kontakt ze mną telefonicznie lub drogą elektroniczną. W przypadku braku opinii termin finału będzie jak wyżej. Proszę o potwierdzenie.
Informuję, że termin finału pozostaje bez zmian (27 listopada), ponieważ otrzymałem tylko 3 zgłoszenia w sprawie zmiany terminu.