Matematyka.pl

mamy dwa walce o takich samych promieniach r, walce przecinają się pod kątek prostym w połowie ich długości. Należy obliczyć objętość części wspólnej tych walców.

Nie wiem o co chodzi z tym przecinaniem się w połowie długości,
dlatego zakładam, że osie walców przecinają się.

Część wspólna składa się z szesnastu symetrycznie rozłożonych równych części:

\(\displaystyle{ V = 16\cdot \int\limits_0^r dx \int\limits_0^x \sqrt{r^2-x^2}dy = \frac{16}{3}r^3}\)

dzięki za rozwiązani ale czy moge prosić o więcej szczegółów bo jakoś nie widze skąd to się wzieło

Równanie walca o osi pokrywającej się z y:
\(\displaystyle{ x^2 + z^2 = r^2}\)
drugi walec podobnie:
\(\displaystyle{ y^2 + z^2 = r^2}\)

Obszar całkowania to trójkąt ograniczony prostymi:
od y = x do y = -x, ale wystarczy nam połowa:
od y = 0 do y = x, a x idzie od 0 do r

W obszarze tym pierwszy walec jest całkowicie zamknięty przez drugi,
zatem część wspólna to objętość pierwszego,
wyliczamy 'z' z równania (górna połowa walca): \(\displaystyle{ z = \sqrt{r^2-x^2}}\)

Całkujemy to tu, po tamtym tam... i mnożymy przez liczbę takich kawałków.

dzięki po raz kolejny ale czy mógłby ktoś napisać rozwiązanie tego zadania od początku do końca bo bez kitu to nie ma dla mnie sensu co rozwiązanie to inne

Pytałem jednego fachowca od rur, czyli hydraulika -
całkowicie potwierdza poprawność wyniku.

\(\displaystyle{ \large \int\limits_0^r dx \int\limits_0^x \sqrt{r^2-x^2}dy = \int\limits_0^r x \sqrt{r^2-x^2}dx = -\frac{1}{3}(r^2-x^2)^{\frac{3}{2}}\ \Bigg|_0^r =\\-\frac{1}{3}[(r^2-r^2) ^{\frac{3}{2}} - (r^2-0^2)^{\frac{3}{2}}] = -\frac{1}{3}(0 - r\cdot r^2) = \frac{r^3}{3}}\)

Masz inne rozwiązania, to pokaż - zobaczymy i zbadamy.

ale dlaczego akurat taką całke trzeba liczyć , i na jakiej podstawie twierdzisz, że to jest 16 takich samych części, co oznacza to z we wcześniejszej części rozwiązania ??

'z' wyliczasz z równania pierwszego walca.
Części jest tyle ile widać.

ale dlaczego akurat taką całke trzeba liczyć ??dlaczego z równania walca?? a skąd się wzieło aż 16 części ?? na jakiej podstawie to wywnioskowałeś ?? sory że Cie tak męcze ale po prostu ja nie widze tego rozwiązania . Z góry dzięki za pomoc

wielkie dzięki życie mi ratujesz i nie tylko mi z resztą )

Byłby ktoś tak dobry i wstawił jeszcze raz zdj bryły która wtedy powstaje, bo nie mogę sobie jej wyobrazić

Ładnie sie robi to zadanie przy pomocy zasady Cavalieri'ego.

Przekrój tych rur płaszczyzna odległą od płaszczyzny zawierającej obie osie i oddalona od niej o \(\displaystyle{ h<r}\) wynosi \(\displaystyle{ 4(r^2-h^2)}\). Jest ona taka sama, jak przekrój sześcianu o boku \(\displaystyle{ 2r}\), z którego od góry i od dołu "wycięto" piramidy, których wspólnym wierzchołkiem jest środek sześcianu.

Zasada Cavalieri mówi, że obie te bryły maje taka sama objętość, a objętość tej drugiej to \(\displaystyle{ (2r)^2-2\cdot\frac{1}{3}\cdot r(2r)^2=\frac{16}{3}r^3}\)