Matematyka.pl

Zad.1
Znajdź granicę ciągu (\(\displaystyle{ a_{n}}\)) lub wykaż, że ona nie istnieje dla każdego n \(\displaystyle{ \in}\) N.

\(\displaystyle{ a_{n}}\) = \(\displaystyle{ \sqrt[n]{|11^{n} - n^{11}|}}\).

zastosuj twierdzenie o trzech ciągach. granica wynosi 11.

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{|11^{n} - n^{11}|}}\)

Rozw:
Wiemy, że istnieje takie \(\displaystyle{ m \in N}\), że dla kazdego \(\displaystyle{ n \ge m zachodzi \frac{11^n}{2} > n^{11}}\). Wynika z tego warunku także: \(\displaystyle{ 11^n - n^{11} > 0}\) Tak więc dla każdego \(\displaystyle{ m>n}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{11^{n} - \frac{11^n}{2}} \le a_{n} \le \sqrt[n]{11^{n}}}\)

Liczymy granice wyrazu po lewej stronie nierówności:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } {\sqrt[n]{\frac{11^n}{2}} = \lim_{x \to \infty } {\sqrt[n]{\frac{1}{2}}\sqrt[n]{11^n}=1*11=11}\)

Oraz wyrazu po skrajnej prawej stronie nierówności:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty }\sqrt[n]{11^n}=11}\)

Tak więc, na mocy twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, że:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } a_n = 11}\)

Tylko że mi najbardziej zależy na dowodzie, że \(\displaystyle{ 11^{n}}\) \(\displaystyle{ \ge}\) \(\displaystyle{ (n/2)^{11}}\)

Takich rzeczy dowodzi się przez indukcję. W kroku musisz skorzystac z nierówności \(\displaystyle{ 11\geqslant (\frac{1}{n}+1)^{11}}\) której dowodzi się bardzo łatwo.