Matematyka.pl

Mam problem z zadaniami;-( Proszę o rozwiązanie.


Zad 1.Pokazać, że wylosowanie z talii 52 kart asa i wylosowanie karty czerwonej
(kara lub kiera) są zdarzeniami niezależnymi.

Zad 2. \(\displaystyle{ A, B}\) są niezależne i \(\displaystyle{ A \cup B = \Omega}\).
Wykazać, że \(\displaystyle{ P(A) = 1}\) lub \(\displaystyle{ P(B) = 1}\).

Zad 3. Czy z tego, że \(\displaystyle{ A,B,C}\) są parami niezależne wynika, że:
a) \(\displaystyle{ A \cup B}\) i \(\displaystyle{ C}\),
b) \(\displaystyle{ A \cap B}\) i \(\displaystyle{ C}\),
są niezależne?

1. Rozważmy zdarzenia:
\(\displaystyle{ A}\) - wylosowano asa,
\(\displaystyle{ B}\)- wylosowano kartę czerwoną.
Wtedy zdarzenie \(\displaystyle{ A\cap B}\) oznacza, że wylosowano czerwonego asa (tj. asa karo lub asa kier).
Mamy \(\displaystyle{ P(A\cap B)=\frac{2}{52}=\frac{1}{26}}\). Z drugiej strony jest \(\displaystyle{ P(A)\cdot P(B)=\frac{4}{52}\cdot\frac{26}{52}=\frac{1}{13}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{26}}\), więc zachodzi równość \(\displaystyle{ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}\), która dowodzi niezależności zdarzeń \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).

2. Z założenia jest \(\displaystyle{ P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)}\) oraz \(\displaystyle{ P(A\cup B)=P(\Omega)=1}\). Stąd i ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń mamy \(\displaystyle{ P(A)\cdot P(B)=P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=P(A)+P(B)-1}\). Stąd \(\displaystyle{ (P(A)-1)(P(B)-1)=P(A)\cdot P(B)-(P(A)+P(B))+1=(P(A)+P(B)-1)-(P(A)+P(B))+1=0}\), więc \(\displaystyle{ P(A)-1=0}\) lub \(\displaystyle{ P(B)-1=0}\), tj. \(\displaystyle{ P(A)=1}\) lub \(\displaystyle{ P(B)=1}\).