Strona 1 z 1
2^n+1 > n^2 + 3n +1
: 10 maja 2006, o 23:11
autor: polan123
\(\displaystyle{ 2^{n+1} > n^{2}+3n+1}\)
\(\displaystyle{ 2^{n} > n^{2}+3n-1}\)
Mozna to jakos dalej obliczyc? Prosze o porade.. Nie chodzi mi o wynik, ale o sposob
2^n+1 > n^2 + 3n +1
: 10 maja 2006, o 23:36
autor: bolo
Jest jakieś założenie co do \(\displaystyle{ n}\)? Wygląda tak jakby \(\displaystyle{ n\in\mathbb{C}}\).
2^n+1 > n^2 + 3n +1
: 10 maja 2006, o 23:56
autor: półpasiec
musze cie zmartwic ale w \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) nie ma okreslonego porzadku
2^n+1 > n^2 + 3n +1
: 10 maja 2006, o 23:59
autor: polan123
\(\displaystyle{ n\geq5}\)
Calosc brzmi:
Korzystajac z zasady indukcji matematycznej, udowodnij, ze kazda liczba naturalna \(\displaystyle{ n\geq5}\) spelnia nierownosc \(\displaystyle{ 2^{n}>n^{2}+n-1}\)
2^n+1 > n^2 + 3n +1
: 11 maja 2006, o 00:18
autor: mu
Musisz więc zrobić tak:
1) Dla \(\displaystyle{ n=5}\) mamy \(\displaystyle{ 32 \geq 29}\), czyli prawda.
2) Zakładamy, że \(\displaystyle{ 2^n \geq n^2+n-1}\), a chcemy pokazać \(\displaystyle{ 2^{n+1} \geq (n+1)^2+(n+1)-1=n^2+3n+1}\).
Pomnóż lewą stronę pierwszej nierówności przez \(\displaystyle{ 2}\) i wtedy dostajemy
\(\displaystyle{ 2^{n+1} \geq 2n^2+2n-2}\). Pozostaje więc wykazać, iż \(\displaystyle{ 2n^2+2n-2 \geq n^2+3n+1}\), co jest równoważne temu, że \(\displaystyle{ n^2 \geq n+3}\). Tę ostatnią nierówność można pokazać opierając się na własnościach funkcji kwadratowej(licząc wyróżnik itd.). Tak więc na mocy zasady indukcji matematycznej jest to prawda.
Idź już lepiej spać, skoro jutro piszesz maturę
2^n+1 > n^2 + 3n +1
: 12 maja 2006, o 14:52
autor: Dooh
indukcja i nierownosc
tu jest analogiczne zadanie