Matematyka.pl

Ile różnych działań wewnętrznych można określić w dowolnym zbiorze zawierającym \(\displaystyle{ n}\) elementów? A ile jest takich działań, które dodatkowo są przemienne?

Jeśli zbiór \(\displaystyle{ A}\) zawiera n elementów, to zbiór \(\displaystyle{ A^{2}}\) zawiera \(\displaystyle{ n^{2}}\) elementów. Każdemu z tych \(\displaystyle{ n^{2}}\) elementów musisz teraz przyporządkować pewien element z \(\displaystyle{ A}\). Można to zrobić na \(\displaystyle{ n^{n^{2}}}\) sposobów.

Jeśli dodatkowo działanie ma być przemienne, to trzeba najpierw zauważyć następujący fakt: par \(\displaystyle{ (a,b)}\) takich, że \(\displaystyle{ (a,b) \neq (b,a)}\), jest w zbiorze \(\displaystyle{ A^{2}}\) tylko \(\displaystyle{ n^{2}-n}\). Połowie z nich musisz przyporządkować pewien element z \(\displaystyle{ A}\) (reszcie będzie on przydzielony automatycznie), można to zrobić na \(\displaystyle{ n^{\frac{n^{2}-n}{2}}}\) sposobów. Pozostałym n parom (których pierwszy i drugi element są równe), pozostaje przyporządkować po jednym elemencie zbioru \(\displaystyle{ A}\), co można zrobić na \(\displaystyle{ n}\) sposobów. Ostatecznie, szukana liczba wynosi \(\displaystyle{ n \cdot n^{\frac{n^{2}-n}{2}}= n^{\frac{n^{2}-n+2}{2}}}\).

Sorry, że tak odkopuję, ale mam takie samo zadanie.
\(\displaystyle{ n \cdot n^{\frac{n^{2}-n}{2}}= n^{\frac{n^{2}-n+2}{2}}}\) powinno być chyba \(\displaystyle{ n^{n} \cdot n^{\frac{n^{2}-n}{2}}= n^{\frac{n^{2}+n}{2}}}\)

Może ktoś spróbować mi wytłumaczyć to zadani jeszcze raz, bo za nic nie jestem w stanie sobie tego ogarnąć logicznie, skąd się ta potęga bierze, że tyle mamy tych działań?

Przepraszam, że odkopię, ale mam problem z pojęciem tego działania wewnętrznego, a bez podstaw algebry liniowej nie mam co brnąć dalej...
Dlaczego dla \(\displaystyle{ n}\) el. wychodzi \(\displaystyle{ n^{n ^{2}}}\), a nie \(\displaystyle{ n ^{3}}\) ? Przecież gdy każdej parze ze zbioru \(\displaystyle{ A ^{2} (n _{1}, n _{2})}\) przyporządkujemy 1 element z \(\displaystyle{ n}\)(możemy to zrobić na \(\displaystyle{ n}\) sposobów to \(\displaystyle{ n ^{2}\cdot n =n^{3}}\)