Matematyka.pl

Wykaż, że jeśli x,y,z są liczbami naturalnymi oraz \(\displaystyle{ x^{2}}\) +\(\displaystyle{ y^{2}}\)=\(\displaystyle{ z^{2}}\), to liczba \(\displaystyle{ x\cdot y \cdot z}\) jest podzielna przez 60.

Trzeba pokazać, że jest podzielna przez 3,4,5.
Podzielność przez 4:
Jak wszystkie są nieparzyste, to oczywista sprzeczność.
Jak co najmniej dwie są parzyste, to teza spełniona.
Jeśli jedna:
Gdy jest to z: wówczas prawa strona jest podzielna przez 4. skoro y i z są nieparzyste, to ich kwadraty dają z dzielenia przez 4 resztę 1. Suma tych liczb da resztę 2, sprzeczność.
Gdy jest to x:
Załóżmy, że jest niepodzielne przez 4. Wówczas, daje on resztę 2 z dzielenia przez 4. Skoro y jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ y^{2}}\) daje resztę 1. Suma tych liczb da resztę 3, a kwadrat liczby naturalnej nie może dawać reszty 3 z dzielenia przez 4.
Podzielność przez 4 załatwiona.

Przez 3: Załóżmy, że wszystkie nie są podzielne przez 3: Kwadraty tych liczb będą dawać resztę 1 z dzielenia przez 3, czyli suma dwóch da resztę 2. Sprzeczność.

Podzielność przez 5 załatw sama

Bardzo przepraszam za odkopanie tematu, ale nie mogę się zgodzić z tym:

jerzozwierz pisze:Gdy jest to x:
Załóżmy, że jest niepodzielne przez 4. Wówczas, daje on resztę 2 z dzielenia przez 4. Skoro y jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ y^{2}}\) daje resztę 1. Suma tych liczb da resztę 3, a kwadrat liczby naturalnej nie może dawać reszty 3 z dzielenia przez 4.

Tak, ale w równaniu jest \(\displaystyle{ x^{2}}\), a on jest podzielny przez 4, wtedy na resztach wszystko się zgadza... i nici z poprawności dowodu...

Ale wówczas nie jest dobrze, jeśli spojrzy się na to równanie modulo 8.