[MIX][Planimetria] Geometria z Pawłowskiego

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Manolin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 29 sty 2009, o 17:59
Płeć: Mężczyzna

[MIX][Planimetria] Geometria z Pawłowskiego

Post autor: Manolin » 2 lis 2009, o 21:15

Witam Mam problem z kilkoma zadaniami: Zad 1 Na płaszczyżnie dane są dwa okręgi \(C _{1}\) i \(C _{2}\) przecinające się w punktach A i B i styczne do prostej w punktach odpowiednio \(P _{1}\) i \(P _{2}\) Rzutami punktów \(P _{1}\) i \(P _{2}\) na linię środków tych okręgów są odpowiednio punkty \(M _{1}\) i \(M _{2}\) .Prosta \(AM _{1}\) przecina okrąg \(C _{1}\) jeszcze w punkcie \(N _{1}\), a prosta \(AM _{2}\) przcina okrąg \(C _{2}\) jeszcze w punkcie \(N _{2}\). Udowodnij że punkty \(N _{1}\) , \(B\) i \(N _{2}\) leżą na jednej prostej Zad 2 Na płaszczyżnie dane są dwa okręgi przecinające się w punktach A i B i styczne do prostej w punktach odpowiednio \(P\) i \(Q\). Styczne do okręgu opisanego na trójkącie APQ w punktach odpowiednio P i Q przecinają się w punkcie S. Niech H będzie obrazem punktu B w symetrii względem prostej PQ . Udowodnij , że punkty A , S ,H leżą na jednej prostej Zad 3 W trójkącie ABC dwusieczna kąta BAC przecina bok BC w punkcie D. Okrąg S styczny do BC w punkcie D i przechodzący przez punkt A przecina AC jeszcze w punkcie M .Udowodnij, że punkt P , w którym okrąg S przecina raz jeszcze prostą BM , leży na środkowej trójkąta ABD Zad 4 W czworokącie ABCD wpisanym w okrąg środkami przekątnych AC i BD są odpowiednio punkty L i N . Udowodnij , że jeśli BD jest dwusieczną kąta ANC , to AC jest dwusieczną kąta BLD Zad 5 Wewnątrz trójkąta ostrokątnego ABC obrano taki punkt D , żę \(DA \cdot DB \cdot AB+ DB \cdot DC \cdot BC+DC \cdot DA \cdot CA=AB \cdot BC \cdot CA\) Znajdż miejsce geometryczne punktów D Zad 6 Punkt B należy do odcinka AC , a punkt D do odcinka AE. Proste CD i BE przecinają się w punkcie F. Udowodnij że jeśli AB+BF=AD+DF to AC+CF=AE+EF Zad 7 Dwa okręgi \(C _{1}\) i \(C _{2}\) przecinają się w punktach A i B . Okrąg O , styczny do nich w punktach D i E , leży wewnątrz ich części wspólnej. Niech C będzie jednym z punktów w którym prosta AB przecina okrąg O. Niech F będzie punktem w któym prosta EC przecina okrąg \(C _{2}\) i niech G będzie punktem w którym prosta DC przecina okrąg \(C _{1}\). NIech punkty H i I będą punktami w których prosta ED przecina okręgi \(C _{1}\) i \(C _{2}\). Udowodnij że punkty F,G,H,I leżą na jednym okręgu.

binaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 547
Rejestracja: 20 lis 2007, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko-Biała

[MIX][Planimetria] Geometria z Pawłowskiego

Post autor: binaj » 3 lis 2009, o 00:59

zad. 1. http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=788932#788932 zad. 2. http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=268361#p268361 zad. 3. Niech N będzie punktem przecięcia się okręgu S z prostą AB, a T prostej AD z prostą BM, zauważmy, że trójkąty BPN i BAM są podobne Niech \(\sphericalangle BAC = \alpha \Rightarrow BPN = \alpha, \sphericalangle DPM= \sphericalangle DAM= \frac{1}{2} \alpha\) przedłużmy DP do przecięcia się z AB w punkcie Q, wówczas PQ jest dwusieczną kąta BPN (z wcześniejszego rachunku na katach), teraz z podobieństwa BPN i BAM i tw. o dwusiecznej: \(\frac{BQ}{QN}= \frac{BP}{PN}= \frac{BA}{AM}= \frac{BT} {TM}\) z tw. odwrotnego do Talesa, mamy, że \(QT||NM\) ale z potęgi punktów B i C względem okręgu S i tw. o dwusiecznej: \(\frac{BN \cdot BA}{CM \cdot CA}= \frac{BD^2}{CD^2} = \frac{BA^2}{CA^2}\) czyli: \(\frac{BN}{NA} = \frac{CM}{CA} \Rightarrow MN||BC\) czyli: \(QT||BD\) niech prosta AP przecina BD w R, z tw. Cevy dla ABD i prostych \(AR,DQ, BT\): \(\frac{BQ \cdot AT \cdot RB}{QA \cdot TD \cdot DR}= \frac{RB}{DR} =1\), co kończy dowód

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

[MIX][Planimetria] Geometria z Pawłowskiego

Post autor: robin5hood » 3 lis 2009, o 19:34

5. niestety widnieje w nierozwiązanych problemach tego forum 80505.htm

Awatar użytkownika
kluczyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 441
Rejestracja: 20 paź 2006, o 22:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Małopolska

[MIX][Planimetria] Geometria z Pawłowskiego

Post autor: kluczyk » 21 gru 2009, o 20:12

A zadanie 6?

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

[MIX][Planimetria] Geometria z Pawłowskiego

Post autor: robin5hood » 21 gru 2009, o 22:07

kluczyk luknij na ten pdf http://www.math.carleton.ca/~williams/p ... df/087.pdf

ODPOWIEDZ