Matematyka.pl

witam mam problem z ponizszym zadaniem:
Dane jest równanie \(\displaystyle{ x^3 - (2m+3)x^2 - 5x = 0}\) z niewiadomą \(\displaystyle{ x}\) i parametrem \(\displaystyle{ m}\)
a) wykaż że dla dowolnego \(\displaystyle{ m \in \mathbb{R}}\) równanie ma trzy pierwiastki z których dwa mają różne znaki
b) Wyznacz wartość \(\displaystyle{ m}\) tak, aby jeden z pierwiastków równania był średnią arytmetyczną pozostałych
z góry wielkie dzieki

\(\displaystyle{ x^3 - (2m+3)x^2 - 5x = x(x^2 - (2m + 3)x - 5)}\)
a) jednym pierwiastkiem jest zero. Pozostałymi - pierwiastki nawiasu.
\(\displaystyle{ \Delta = (2m + 3)^2 + 20 > 0}\)
Więc nawias ma zawsze dwa rozwiązania.
Teraz ze wzorów Viete'a:
\(\displaystyle{ x_{1}x_{2} = \frac{-5}{1} < 0}\)
A iloczyn dwóch liczb jest ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy są różnych znaków.
b) Zastanówmy się, jakie mamy możliwości. Albo \(\displaystyle{ x_1 = -x_2}\) (wtedy zero jest średnią), albo \(\displaystyle{ 2x_1 = x_2}\) (wtedy pierwszy pierwiastek jest średnią).
\(\displaystyle{ x_1 = -x_2 \vee 2x_1 = x_2 \Leftrightarrow x_1 + x_2 = 0 \vee 2 \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \Leftrightarrow 2m + 3 > 0 \vee -b = 2 \sqrt{\Delta}}\)
Rozwiąż do końca i masz wynik.

Co zrobić z \(\displaystyle{ -b=2 \sqrt{\Delta}}\) i dlaczego jest \(\displaystyle{ 2m+3>0}\) a nie \(\displaystyle{ 2m+3 =0}\). W odpowiedziach jest jedynie \(\displaystyle{ m=-1,5}\)

biolga pisze:Co zrobić z \(\displaystyle{ -b=2 \sqrt{\Delta}}\) i dlaczego jest \(\displaystyle{ 2m+3>0}\) a nie \(\displaystyle{ 2m+3 =0}\). W odpowiedziach jest jedynie \(\displaystyle{ m=-1,5}\)

b - to przecież współczynnik przy x w naszym trójmianie - jest już dany, tylko podstawić, to samo z \(\displaystyle{ \Delta}\), też podstawić do wzoru i dostajesz równanie z niewiadomą m.

Powinno być \(\displaystyle{ 2m+3 =0}\), mała literówka.

Dzięki za odpowiedź.

Althorion pisze:\(\displaystyle{ x^3 - (2m+3)x^2 - 5x = x(x^2 - (2m + 3)x - 5)}\)
a) jednym pierwiastkiem jest zero. Pozostałymi - pierwiastki nawiasu.
\(\displaystyle{ \Delta = (2m + 3)^2 + 20 > 0}\)
Więc nawias ma zawsze dwa rozwiązania.
.

ja mam pytanie odnosnie tego rownania. Jak to rownanie ma zawsze 2 rozwiazania jak przy wyliczeniu delta wychodzi ujemna? Prosze o szybka odpowiedz i dzieki:)

Delta wychodzi zawsze dodatnia...:
\(\displaystyle{ \Delta = (2m + 3)^2 + 20 > 0}\)
Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny. A jeszcze powiększamy go o dwadzieścia...