Matematyka.pl

Wykaż, że jeśli x,y,z są bokami trójkąta, to prawdziwa jest nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3} (x+y+z)}{2}>\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\)

Piszę z pamięci - może być jakiś błąd, bo nie mam tego arkusza, a przerabiany był na lekcji na której byłem trochę niedysponowany i nie uważałem za bardzo na to co się dzieje.

Nierówność zrobiłem, ale na taki średni trochę sposób i interesują mnie Wasze sprytniejsze metody oraz to jak może rozwiązać to jakiś humanista (z całym szacunkiem dla humanistów) bez obycia w tego typu zadaniach? Czy może ja czegoś nie widzę i kombinuję za bardzo, a zadanie jest trywialne?
Są jakieś typowe metody udowadniania takich nierówności dla boków trójkąta? Jakieś typowe podstawienia czy triki? W Kourliandtchiku nic nie widzę na ten temat.

do kwadratu
na jedna stronę
jednym z trików jest: podstawić x=a+b
y=a+c
z=b+c
wymnożyć
uporządkowac, zredukować.

podstawić x=a+b
y=a+c
z=b+c

to tzw. podstawienie Ravi'ego

nawet nie wiedziałem, dobrze wiedzieć )

Właśnie też zrobiłem z tym podstawieniem, tak jak teraz patrzę to wcale nie jest to taki prostacki sposób

według mnie trudne jak na podstawę

nie powinno być czasem \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2} (x+y+z)}{2}>\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\)
to będzie równoważne: \(\displaystyle{ 2 \sum x^2 + 4 \sum xy > 4\sum x^2}\)
czyli: \(\displaystyle{ \sum x(y+z-x)>0}\)

\(\displaystyle{ \sum}\) to suma cykliczna czyli suma 3 takich samych elementów tylko dla innych literek w tym przypadku

jak już pytasz o metody to czasami (w sumie dosyć rzadko) można wykminić jakąś interpretacje geometryczną (metoda raczej dla bardziej doświadczonych), bywa że bez niej zrobienie zadania bez niej jest bardzo trudne np gdy teza po paru trikach okazuje się być równoważna z nierównością Ptolemeusza (zobacz np. tu: 84787,150.htm?hilit=ptolemeusza od przedostatniego postu ze 3; może nie ściśle związane z bokami trójkąta ale obracające się wokół geometrii)

Treść raczej dobrze, a wzorcówka polegała chyba na założeniu, że któryś z boków ma największą długość i jakoś dalej to pociągnęli nie kojarzę jak
W każdym bądź razie wątpię, żeby przeciętny maturzysta zauważył cykliczność w tej nierówności i jechał z elementem maksymalnym


@Dumel
Tak offtopując to taka matura mogła by być, ciekawe jak wyglądałyby zadania z rozszerzenia

jest jeszcze ogólne podstawienie:
\(\displaystyle{ a:=x+y-z}\)
\(\displaystyle{ b:=x+z-y}\)
\(\displaystyle{ c:=z+y-x}\)

wtedy po prostu \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) i pozbywasz się brzydkiego ograniczenia na \(\displaystyle{ x,y,z}\)