Matematyka.pl

Jak rozwiązać coś takiego \(\displaystyle{ \left(x-1 \right)^{3}+ \left( 2x+3\right) ^{3}=27 x^{3}+8}\) i coś takiego \(\displaystyle{ x ^{3}+12x ^{2}+44x+48=0}\)

W pierwszym podnieś nawiasy do trzeciej potęgi i na jedną stronę, wyłączy się \(\displaystyle{ x}\) przed nawias i zostanie równanie kwadratowe.
W drugim zauważ, że jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ -2}\)

Rozwiązywanie równań wielomianowych trzeciego stopnia

\(\displaystyle{ a_{3}z^{3}+a_{2}z^{2}+a_{1}z+a_{0}=0}\)

Zastosujmy podstawienie \(\displaystyle{ y=z+ \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)

aby wyeliminować wyraz \(\displaystyle{ a_{2}z^{2}}\)

Po podstawieniu dostaniemy

\(\displaystyle{ y^{3}+py+q=0}\)

Zastosujmy podstawienie \(\displaystyle{ u+v=t}\)

aby otrzymać wzory Viete'a równania kwadratowego

Po podstawieniu dostaniemy

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-q \\ uv=- \frac{p}{3} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3=-q \\ u^3v^3=- \frac{p^3}{27} \end{cases}}\)

Powyższy układ równań to wzory Viete'a równania kwadratowego
(zwanego równaniem rozwiązującym)

\(\displaystyle{ t^2+qt-\frac{p^3}{27}=0}\)

Pierwiastki trzeciego stopnia z pierwiastków powyższego równania dobieramy

tak aby \(\displaystyle{ uv=- \frac{p}{3}}\)

\(\displaystyle{ u= \sqrt[3]{t_{1}}}\)

\(\displaystyle{ v= \sqrt[3]{t_{2}}}\)

\(\displaystyle{ y_{1}= u+v}\)

\(\displaystyle{ y_{2}=\varepsilon_{1}u+ \varepsilon_{2}v}\)

\(\displaystyle{ y_{3}=\varepsilon_{2}u+ \varepsilon_{1}v}\)

\(\displaystyle{ \varepsilon_{k}=e^{ \frac{2ik\pi}{3} }}\)

czyli pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki

Na marginesie dodam że w podobny sposób można rozwiązać równanie
czwartego stopnia