Matematyka.pl

czy prostopadłościan, którego przekątna ma długość 6, może mieć objętość równa\(\displaystyle{ 16 \sqrt{6}}\)? Odpowiedź uzasadnij.

Zapiszemy objętość prostopadłościanu w funkcji dwóch zmiennych:
\(\displaystyle{ \begin{cases}V(x,y,z)=xyz\Leftrightarrow V(x,y)=xy\sqrt{36-x^2-y^2}\\ x^2+y^2+z^2=36\Leftrightarrow z=\sqrt{36-x^2-y^2}\end{cases}}\)
Należy sprawdzić, czy funkcja może przyjmować wartość \(\displaystyle{ 16\sqrt{6}}\). W tym celu zbadaj wartość minimalną i maksymalną tej funkcji; jeśli spełniony będzie warunek: \(\displaystyle{ \min f(x,y)\le16\sqrt{6}\le\max f(x,y)}\), z twierdzenia Darboux otrzymamy, że prostopadłościan o danej objętości istnieje.

Pewnie tak. Sześcian o przekątnej równej 6 ma długość boku równą \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\) i jego objętość jest wówczas większa od \(\displaystyle{ 16 \sqrt{6}}\).

scyth pisze:Pewnie tak. Sześcian o przekątnej równej 6 ma długość boku równą \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}}\) i jego objętość jest wówczas większa od \(\displaystyle{ 16 \sqrt{6}}\).

W poleceniu jest równą :d

Pokazałem, że istnieje. Mamy rozwiązać:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a^2+b^2+c^2=36 \\
abc=16\sqrt{6} \\
a>0 \ \wedge \ b>0 \ \wedge \ c>0
\end{cases}}\)
No to załóżmy, że \(\displaystyle{ a=2\sqrt{3}}\). Wówczas troszkę liczenia i mamy np.:
\(\displaystyle{ b=4 \\
c=2\sqrt{2}}\)