Matematyka.pl

mam takie pytanko: jak wyznaczyć zbiór wartości takiej funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)=\log_{2}{x}+\frac{1}{\log_{2}{x}}}\) ??
albo ogólnie funkcji postaci:
\(\displaystyle{ g(x)=\log_{a}{x}+\frac{1}{\log_{a}{x}}}\) ??
z góry dzięki za pomoc

Zauważ, że \(\displaystyle{ log_{a}x}\) może przyjmować dowolną wartość rzeczywistą, więc przyjmijmy t=logx, wtedy:
\(\displaystyle{ g(x)=\frac{t^{2}+1}{t}}\)
Zbiór wartości, możesz zbadać w ten sposób:
Dla jakich wartości parametru m równanie g(x)=m ma rozwiązanie, ponieważ t należy do rzeczywistych nic nie stoi na przeszkodzie żeby zrobić z tego równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ t^{2}-mt+1=0}\) I wziąć delta >=0 wtedy to ma rozwiązanie, czyli m należy do rpzedziału (-inf,-2> u

Ciekawe podejście, a zauważ też, że zbiór wartości w dużej mieże zależy od pierwszego składnika tej sumy czyli od \(\displaystyle{ log_{a}x}\) ponieważ a nigdy nie moze przyjąć wartości równej jeden. Zależy też w jakim przedziale leży to "a" czy leży w przedziale od 0 do 1 czy od 1 do ∞

Olo: tyle, że t != 0. Nie możemy o tym zapominać

z tego co napisał OLO wynika ze zb. wartości będzie (-inf;-2> u

Nie dla dowolnego "a". Jeśli "a" jest z przedziału (1; ∞) to wtedy zbiór wartości jest
od 2 do ∞ sprawdź chociażby dla a=10 lub dla a=e

oj karolina cos nie bardzo ten zb. wartości
\(\displaystyle{ a=10, x=0.1}\)
mamy wtedy:
\(\displaystyle{ log{0.1}+\frac{1}{log0.1} = -1 - 1 = -2}\)

nie nie zmieni sie, myślałem, że to jasno wynika z tego co napisałem, niezaleznia od a ten logarytm przyjmuje dowolną wartoość rzeczywistą,. Czyli zbiorem pozostaje to co napisałem.

Po prostu nie dopowiedziałam wszystkiego do końca. Funkcja zachowuje się w taki sposób jak podajesz w drugim przedziale czyli ma zbiór wartości od - ∞ do -2 gdy x należy od 0 do 1 zapomniałam dodać, że zapisałam dziedzinę też od 1 do ∞ w poprzednim moim poście, sorry za nieścisłości