Matematyka.pl

Dane są dwie funkcje:
\(\displaystyle{ f(x)=0,5x+2}\); \(\displaystyle{ x\in R}\)
\(\displaystyle{ g(x)=3x+3}\); \(\displaystyle{ x\in R}\)
Odczytaj dla jakich x:
-obie funkcje przyjmują jednocześnie te same wartości,
-wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)>g(x)}\),
-obie funkcje jednocześnie przyjmują wartości ujemne,
-obie funkcje jednocześnie przyjmują wartości dodatnie.

Jeśli funkcjie przyjmują jednocześnie te same wartości to wystarczy przyrównać y z jednego z równania z y drugiego równania.

a) \(\displaystyle{ y=0,5x+2}\)

\(\displaystyle{ y=3x+3}\)

\(\displaystyle{ y=y}\)

\(\displaystyle{ 0,5x+2=3x+3}\)

\(\displaystyle{ -2,5x=1}\)

\(\displaystyle{ x=- \frac{2}{5}}\)

Obie funkcje przyjmują te same wartości dla \(\displaystyle{ x=- \frac{2}{5}.}\)

b) \(\displaystyle{ 0,5x+2>3x+3}\)

\(\displaystyle{ x<- \frac{2}{5}}\)

Obliczając nierówność pamiętamy o zmianie znaku.

\(\displaystyle{ f(x)>g(x) dla x \in (- \infty ,- \frac{2}{5})}\)

c) \(\displaystyle{ f(x)<0 i g(x)<0}\)

\(\displaystyle{ 0,5x+2<0}\)

\(\displaystyle{ x<-4}\)

\(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-4)}\)

\(\displaystyle{ 3x+3<0}\)

\(\displaystyle{ x<-1}\)

\(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-1)}\)

Teraz wystarczy narysować sobie oś, zaznaczyć oba przedziały i tam gdzie się pokrywają jest to rozwiązanie czyli \(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-4)}\)

Rozwiązanie możemy oczywiście odczytać wprost z układu współrzędnych i narysowanych wykresów funkcji f i g.
d) ten podpunkt robimy analogicznie do poprzedniego pamiętając, że znak < będzie zwrócony w drugą stronę.

\(\displaystyle{ f(x)=ax+b\\\\ \mbox{miejsce zerowe funkcji gdy }a \neq 0\\\\ x=\frac{-b}{a}\\\\ f(x)=0,5x+2
\\\\ x=\frac{-2}{\frac{1}{2}}=-2\cdot2=-4\\\\ b_y=2\\\\ a>0 \mbox{ funkcja jest rosnąca}\\\\\\ g(x)=3x+3\\\\ x=\frac{-3}{3}=-1\\\\ b_y=3}\)

Czyli rozwiązanie punktu d to
\(\displaystyle{ x \in (-1;+ \infty)}\)?

Zgadza się.