Matematyka.pl

wykaż podzielnosc przez 9
\(\displaystyle{ (10^{11} + 2)^{2}}\)

Co możesz powiedzieć o sumie cyfr liczby w naiwasie?
Co się stanie z każdą cyfrą liczby z nawiasu gdy ją podniesiemy do kwadratu?

Że suma cyfr w nawiasie nei jest podzielna przez 9. A gdy podniesiemy ja do kwadratu to bedzie wynosic \(\displaystyle{ (10^{22}+40^{11}+4)}\)
Doszłem do \(\displaystyle{ (10^{11}+2)(10^{11}+2)}\) a dalej niewiem jak robic lub cos żle próbuje

z jakich cyfr w zapisie dziesiętnym składa się liczba \(\displaystyle{ 10^k}\)?
Ano składa się z jedynki i samych zer, prawda??
no to jak dodamy 2 to będziemy mieli
1000...002
i suma wynosi 3

a po pdoniesieniu do kwadratu jaka będzie postać tej liczby?
12*12=144
102*102=10404
1002*1002=1004004
10002*10002=100040004
czyli przez pełną analogię mamy \(\displaystyle{ (10^k+2)^2=1000...004000...004}\)
i w tych 'blokach' zer, zera występują k-1 razy.

Można prościej

\(\displaystyle{ (10^{11} + 2)^{2}}\)

Liczba \(\displaystyle{ 10^{11} + 2}\), składa się z jedynki, zer i dwójki więc suma cyfr to 3, a co za tym idzie liczba jest podzielna przez 3. Można ją zapisać jako \(\displaystyle{ 10^{11} + 2=3k}\), gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest jakąś liczbą naturalną.

Mamy więc \(\displaystyle{ (10^{11} + 2)^{2}=(3k)^{2}=9k^{2}}\)
Więc liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 9}\)