Matematyka.pl

Ze zbioru A={1,2,3,...,102} losujemy dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich dwóch liczb, których iloczyn jest podzielny przez 4.

B - iloczyn liczb jest podzielny przez 4

Rozważ, kiedy iloczyn dwóch liczb jest podzielny przez cztery: jeżeli jedna z liczb jest podzielna przez cztery, bądź obie są podzielne przez dwa. Aby nie liczyć pewnych przypadków dwukrotnie, liczbę zdarzeń sprzyjających możesz policzyć w ten sposób:

Wszystkich liczb nieparzystych i parzystych w zbiorze A masz 51, w tym 25 podzielnych przez 4. Zliczasz więc przypadki, w których:

- bierzesz jedną liczbę z dwudziestu pięciu podzielnych przez cztery i dowolną z pozostałych 77, czyli . . . . . . . . \(\displaystyle{ {25 \choose 1} {77 \choose 1}}\)

-bierzesz dwie liczby z podzielnych przez 2, ale nie podzielnych przez 4 (aby nie zliczać dwukrotnie tych samych par), czyli . . . . . . . . \(\displaystyle{ {26 \choose 2}}\)

Moc zbioru B wynosi więc . . . . . . . . \(\displaystyle{ \stackrel{=}{B}}\) \(\displaystyle{ ={25 \choose 1} {77 \choose 1} + {26 \choose 2}}\)

podczas moc zbioru B wynosi więc zdarzeń elementarnych sprowadza się do wyboru dwóch liczb ze 102, czyli . . . . . . . . \(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}={102 \choose 2}}\)

Ostatecznie

\(\displaystyle{ P(B)=\frac{{25 \choose 1} {77 \choose 1} + {26 \choose 2}}{{102 \choose 2}}=\frac{25*77+\frac{26*25}{2}}{\frac{102*101}{2}}=\frac{2250}{5151}=\frac{750}{1717} \approx 0,4368}\)


Pozdrawiam

To jest nie do końca dobrze , pominąłeś 1 przypadek gdy obie liczby są podzielne przez 4 , a takich liczb jest 25 wiec do mocy zbioru trzeba jeszcze dodac kombinacje 2 elementową z 25