Matematyka.pl

Witam Wszystkich matematyków. Wiek już nie ten a dzieci coraz lepsze zadania do domku przynoszą, prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu takich zadań:

1. Wykaż, że spośród trzech dowolnych liczb całkowitych można wybrać liczbę podzielną przez 3 lub kilka liczb, których suma jest podzielna przez3.

2. W kongresie matematycznym brało udział 100 naukowców: 90 z nich władało językiem angielskim, 75 - językiem niemieckim, 70 - językiem francuskim, 66 - językiem rosyjskim.

Czy wśród uczestników kongresu był matematyk, który władał czterema językami? Odpowiedź uzasadnij.

Dziękuję za jakąkolwiek pomoc.

Witam,

Ad 1. Oznaczmy dane liczby przez a,b,c. Rozpatrzmy teraz liczby a, a+b, a+b+c.
Jeśli któraś z nich jest podzelna przez 3 to koniec. Jeśli nie, to dwie z nich muszą mieć taką samą resztę z dzielenia przez 3. Wystarczy wówczas wziąć ich różnicę.

Ad 2. Popatrzmy trochę "na przekór": wśród 100 uczestników jest 10, którzy NIE mówią po angielsku, 25 - po niemiecku, 30 - po francusku i 34 - po rosyjsku. Maksymalnie więc 10+25+30+34 uczestników nie mówi wszystkimi językami. Stąd już prosty wniosek...

Pozdrawiam (dzieci również )

ad.1 "kilka liczb" ?

zalozmy ze wsrod tych trzech liczb nie ma liczby podzielnej przez trzy. mozliwe reszty z dzielenia tych liczb przez 3 to 1 i 2.

1. niech wszystkie te 3 liczb daja w dzieleniu przez 3 resztę 1, tzn sa postaci \(\displaystyle{ 3m+1,3n+1,3k+1}\) gdzie \(\displaystyle{ m,n,k C}\). Ich suma to \(\displaystyle{ 3(m+n+k+1)}\), jest więc podzielna przez 3. alternatywa warunkow zadania jest spelniona.

2. niech jedna z liczb daję resztę 2, jest ona postaci \(\displaystyle{ 3m+2}\), pozostałe dwie niech dają resztę równa 1, niech bedą to \(\displaystyle{ 3k+1}\) i \(\displaystyle{ 3n+1}\). mozemy spośród tych elementów wybrać sumę podzielna przez 3 np.
\(\displaystyle{ 3k+1+3m+2=3(k+m+1)}\)
podobnie uzasadnisz resztę przypadkow