Matematyka.pl

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{ \log _ {0,5}^{2} \sin x }\:+ \left( \sin x \right) ^{ \log _ {0,5} \sin x }\:=1}\)

Próbowałem różnych przekształceń, ale nic mi nie chce wyjść.

Zlogarytmuj obustronnie przez \(\displaystyle{ \log_{\frac{1}{2}}}\) i podstaw zmienną pomocniczą. Będzie kwadratowe równanie raczej.

\(\displaystyle{ 0.5 = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin x = \left( \frac{1}{2} \right) ^{ \log _ {\frac{1}{2}} \left( \sin x \right) }}\)
i dwie zminenne pomocnicze

[ Dodano: Sro Maj 03, 2006 11:06 pm ]
\(\displaystyle{ \ldots= \left( \frac{1}{2} \right) ^{\ \log _ {\frac{1}{2}}^2 \sin x } + \left( \frac{1}{2} \right) ^{\ \log _ {\frac{1}{2}}^2 \sin x } = \left( \frac{1}{2} \right) ^{t^2} + \left( \frac{1}{2} \right) ^{t^2} = 2 \left( \frac{1}{2} \right) ^ \left( t^2 \right) = 1}\)
gdzie \(\displaystyle{ t = \ \log _ {\frac{1}{2}} \sin x}\)

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{t^2} = \frac{1}{2}}\) , wtg. \(\displaystyle{ t^2 = 1}\)

Skąd wziąłeś że \(\displaystyle{ \sin x = \left( \frac{1}{2} \right) ^{ \log _ {\frac{1}{2}} \left( \sin x \right) }}\)

Tego co napisałeś dalej też nie zabardzo rozumiem skąd się wzieło

Twierdzenie: Jeżeli \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{R}_{+}}\), i \(\displaystyle{ a \neq 1}\) to \(\displaystyle{ a^{\log_{a} c}=c}\).

Napisałem nie ten wzór, co chciałem, teraz już poprawiłem ;]

1: z defininicji logarytmu (przekształć w postać lofarytmiczną, co do pierwszej wątpliwości) lub z definicji funkcji odwrotnej f. wykładniczej, która jest bijekcją

2. czego dalej nie rozumiesz ?

Jakim sposobem zamieniłeś \(\displaystyle{ \left( \sin x \right) ^{ \log _ {\frac{1}{2}} \sin x }}\) na \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{ \log _ {\frac{1}{2}} \sin x }}\)

A odnośnie wypowiedzi Tristana : powstaje równanie \(\displaystyle{ t^{2} + t-1=0}\), którego rozwiązania nie mają za wiele sensu.

tam w potędze jest kwadrat logarytmy - czytaj dokładnie posty.... poza tym \(\displaystyle{ (a^b)^c = a^{bc}}\)...

No tak jest tam kwadrat, ale nadal nie wiem skąd się wzieła ta druga liczba w sumie. Nie mógł by ktoś opisać jak się coś takiego logarytmuje stronami? Ja poprostu nie mam opanowanych logartmów i dlatego niezabardzo się rozumiemy. Jak byś rozpisał to zadanie z komentarzem co gdzie robicie (i dlaczego) to by mi to najbardziej pomogło. A przedewszystkim - jak to się logartmuje?

[ Dodano: Czw Maj 04, 2006 8:36 am ]
Dobra już chyba rozumiem skąd się co wzieło. Tylko mam jedno pytanie: W tym przykładzie nic nie trzeba logarytmować stronami?

Wycofuję się z logarytmowania, bo przecież nie ma wzoru na logarytm sumy, sorki.

Dla sportu sobie coś napiszę...

O założeniach nie będę pisał.

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{\ \log _ {0,5}^{2} \sin x }+ \left( \sin x \right) ^{\ \log _ {0,5} \sin x }\,=1 \\ \left( \left( \frac{1}{2} \right) ^{\ \log _ {0,5} \sin x } \right) ^{\ \log _ {0,5} \sin x }+ \left( \sin x \right) ^{\ \log _ {0,5} \sin x }\,=1\\ \left( \sin x \right) ^{\ \log _ {0,5} \sin x }+ \left( \sin x \right) ^{\ \log _ {0,5} \sin x }\,=1\\ \left( \sin x \right) ^{\ \log _ {0,5} \sin x }\,=\frac{1}{2}\,\,\,\,\,/\ \log _ {\frac{1}{2}} \left( \,\, \right) \\\ \log _ {0,5}^{2} \sin x =1\\\ \log _ {0,5} \sin x =1\,\,\vee\,\,\ \log _ {0,5} \sin x =-1\\ \sin x =\frac{1}{2}\,\,\vee\,\, \sin x =2}\)

Drugie rzecz jasna odpada, stąd rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\,\,\vee\,\,x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\,\,\,k\in\mathbb{C}}\). Myślę, że jest to jedna z najprostszych i najszybszych metod.

Witam,
Nie rozumiem tego przekształcenia, co to znaczy:
\(\displaystyle{ s \left( \sin x \right) ^{\ \log _ {0,5} \sin x }+ \left( \sin x \right) ^{\ \log _ {0,5} \sin x }\,=1\\ \left( \sin x \right) ^{\ \log _ {0,5} \sin x }\,=\frac{1}{2}\,\,\,\,\,/\ \log _ {\frac{1}{2}} \left( \,\, \right) \\\ \log _ {0,5}^{2} \sin x =1}\)

O to mi chodzi: \(\displaystyle{ log _ {\frac{1}{2}} \left( \,\, \right)}\)

Proszę o pomoc.