Matematyka.pl

Witam.

Od kilku dni myślę jak rozwiązać następujący problem:

Mamy równania płaszczyzn w przestrzeni: \(\displaystyle{ A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0}\) oraz \(\displaystyle{ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0}\). Znaleźć równanie prostej utworzonej z "nałożenia" na siebie tych dwóch płaszczyzn. Inaczej mówiąc, znaleźć równanie ogólne prostej w przestrzeni mając jej równanie krawędziowe.

Proszę o pomoc. Pozdrawiam serdecznie.

Rozwiąże to na konkretnym przykładzie, bo ogólnie jest trudniej.

Założmy, że mamy prostą l w postaci krawędziowej:

x+y-2z+7=0
2x-y+3z-1=0

Z zapisu krawędziowego możemy utworzyć macierz:

1 1 -2 | 7
2 1 3 | 1

Po pewnych przekształceniach otrzymujemy:

1 0 5 | 8
0 1 -7 | -15

z macierzy tej możemy zapisać układ równań następująco:

x+5z=8
y-7z=-15
\(\displaystyle{ z R}\)

Parametryzujemy:

x=8-5t
y=-15+7t
z=t

Żeby ładniej wyglądało:

x=-5t+8
y=7t-15
z=t

Jak pewnie zauważyłeś powyższy układ równań jest postacią parametryczną prostej w przestrzeni, z tej postaci możemy przejść do innych postaci prostej w przestrzeni, np. do odcinkowej lub proporcji podwójnej.

P.S. niebardzo rozumiem co masz na myśli pisząc o postaci ogólnej prostej w przestrzenii, o takiej nie słyszałem. Prosta w przestrzeni może byc dana w 4 postaciach:

- postac parametryczna

- postać proporcji podwójnej

- postać wyznacznikowa

- zapis macierzowy

W przestrzeni postać ogólną może mieć płaszczyzna, ale nie prosta.

Grzegorz Getka pisze: Z zapisu krawędziowego możemy utworzyć macierz:

1 1 -2 | 7
2 1 3 | 1

Miałem macierze w szkole, ale skąd takie współczynniki w tej macierzy? Nie rozumiem tego zapisu... zy mógłbyś to wyjaśnić?

A chodziło mi o postać parametryczną, więc powyższy przykład bardzo by mi się przydał do wyznaczenia ogólnego wzoru

Oj przepraszam, pomyliłem się. Macierz powinna wyglądać następująco:

\(\displaystyle{ \Large ft[\begin{array}{ccc}1&1&-2&|&-7\\2&-1&3&|&1\end{array}\right]}\)

Skąd to się wzięło ?

- w pierwszej kolumnie występują współczynniki x, w drugiej y, w trzeciej z

- czwarta kolumna to oczywiście macierz wyrazów wolnych, przenosimy je na prawą stronę, więc mają zmieniony znak.

Jeśli coś dalej niejasne, to pisz.

Dziękuiję. Mam jeszcze takie pytanie: co oznacza ta kreska między liczbami -2 i -7 oraz 3 i 1. I jak się w najprostszy sposób oblicza tą macierz (tzn. bez wyciągania żadnych liczb przed macierz, etc.). Jeszcze raz dzięki.

Więc ta kreska to jedynie symbol, nie ma ona żadnej wartości. Często taką kreskę stawia się przy zapisie macierzy rozszerzonej, aby oddzielić macierz współczynników od macierzy wyrazów wolnych.

Naszym celem nie jest obliczenie wyznacznika tej macierzy... Musimy jedynie ją maksymalnie uprościć (dążyć do utworzenia z macierzy współczynników macierzy jednostkowej - co prawie zawsze się nie udaje). W podanym przeze mnie przykładzie uczyniłem to za pomocą metody eleiminacji Gaussa. Jeśli nie wiesz jak to się robi, to mogę rozpisać dokładnie "krok po kroku".

W takim razie bartdzo poproszę, gdyż nic mi to nie mówi

Krok po kroku... Proszę bardzo:

Wielkie dzięki!!! Bardzo mi pomogłeś!!! Szacuneczek Masz u mnie piwo