Matematyka.pl

Witam, proszę o pomoc w tych zadaniach. Jak udowodnić indukcyjnie:
wzory na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego i geometrycznego oraz wzory na sumy wyrazów tych ciągów. Z góry dziękuję za pomoc.

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\(\displaystyle{ a_n=a_1+(n-1)r}\)

\(\displaystyle{ 1^\circ \ dla \ n=1\\
a_1=a_1+(1-1)r=a_1 \ PRAWDA}\)

\(\displaystyle{ 2^\circ \ dla \ n\in\mathrm{l}\!\mathrm{N}}\)
Zał. ind.: \(\displaystyle{ a_n=a_1+(n-1)r}\)
Teza ind.: \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_1+nr}\)

Dowód: \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_n+r=a_1+(n-1)r+r=a_1+nr}\)
\(\displaystyle{ c.n.d.}\)


Wzór na sumę początkowych n-wyrazów ciągu arytmetycznego:
\(\displaystyle{ S_n=\sum_{i=1}^{n}a_{i}=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}n}\)

\(\displaystyle{ 1^\circ \ dla \ n=1\\
S_1=\frac{2a_1+(1-1)r}{2}\cdot1=a_1 \ PRAWDA}\)

\(\displaystyle{ 2^\circ \ dla \ n\in\mathrm{l}\!\mathrm{N}}\)
Zał. ind.: \(\displaystyle{ S_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}n}\)
Teza ind.: \(\displaystyle{ S_{n+1}=\frac{2a_1+nr}{2}(n+1)}\)

Dowód: \(\displaystyle{ S_{n+1}=S_n+a_{n+1}=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}n+a_1+nr=\frac{2na_1+n^2r-nr+2a_1+2nr}{2}=\\=\frac{2a_1(n+1)+nr(n+1)}{2}=\frac{2a_1+nr}{2}(n+1)}\)
\(\displaystyle{ c.n.d.}\)


Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:
\(\displaystyle{ a_n=a_1\cdot q^{n-1}}\)

\(\displaystyle{ 1^\circ \ dla \ n=1\\
a_1=a_1\cdot q^{1-1}=a_1 \ PRAWDA}\)

\(\displaystyle{ 2^\circ \ dla \ n\in\mathrm{l}\!\mathrm{N}}\)
Zał. ind.: \(\displaystyle{ a_n=a_1\cdot q^{n-1}}\)
Teza ind.: \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_1\cdot q^n}\)

Dowód: \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_n\cdot q=a_1\cdot q^{n-1}\cdot q=a_1\cdot q^n}\)
\(\displaystyle{ c.n.d.}\)


Wzór na sumę początkowych n-wyrazów ciągu geometrycznego:
\(\displaystyle{ S_n=\sum_{i=1}^{n}a_{i}=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}}\)

\(\displaystyle{ 1^\circ \ dla \ n=1\\
S_1=a_1\cdot\frac{1-q^1}{1-q}=a_1 \ PRAWDA}\)

\(\displaystyle{ 2^\circ \ dla \ n\in\mathrm{l}\!\mathrm{N}}\)
Zał. ind.: \(\displaystyle{ S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}}\)
Teza ind.: \(\displaystyle{ S_{n+1}=a_1\cdot\frac{1-q^{n+1}}{1-q}}\)

Dowód: \(\displaystyle{ S_{n+1}=S_n+a_{n+1}=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}+a_1\cdot q^n=a_1\cdot\frac{1-q^n+q^n-q^{n+1}}{1-q}=a_1\cdot\frac{1-q^{n+1}}{1-q}}\)
\(\displaystyle{ c.n.d.}\)