Matematyka.pl

Dane są rosnące ciągi : arytmetyczny \(\displaystyle{ a_{n}}\) i geometryczny\(\displaystyle{ b_{n}}\).
Liczby \(\displaystyle{ -1 , x , y}\) są trzema początkowymi , kolejnymi wyrazami ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\) , zaś liczby \(\displaystyle{ 1 , x-2 , y-2}\) są trzema początkowymi , kolejnymi wyrazami ciągu \(\displaystyle{ b_{n}}\)

a) Wyznacz ciągi \(\displaystyle{ a_{n}}\) i \(\displaystyle{ b_{n}}\)
b) Suma ilu początkowych wyrazów ciągu \(\displaystyle{ a_{n}}\) wynosi 1120 ?

z informacji, które masz możesz zapisać:

\(\displaystyle{ \Large y-x=x-1}\)

\(\displaystyle{ \Large \frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{x-2}}\)

Z tych równań można wyznaczyć x i y.

\(\displaystyle{ \Large x=7}\)

\(\displaystyle{ \Large y=13}\)

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego \(\displaystyle{ \Large a_{n}=a_{1}+(n-1)r}\) - wystarczy podstawić, przy czym \(\displaystyle{ \Large a_{1}=-1}\), a \(\displaystyle{ \Large r=8}\)

Wzór ogólny ciagu geometrycznego \(\displaystyle{ \Large b_{n}=b_{1}q^{n-1}}\)

Teraz podpunkt b)

Wzór na sumę:

\(\displaystyle{ \Large S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}n}\)

Z tego musisz wyznaczyć n. Za S podstawiasz 1120, wzory ogólne na \(\displaystyle{ \Large a_{n}}\) i \(\displaystyle{ \Large b_{n}}\) masz podane. Rozwiązując to równanie otrzymasz dwa rozwiązania, bierzesz oczywiście to dodatnie, bo ilość wyrazów może być tylko dodatnia.

po prostu uklad rownan:

z 1 masz, ze
2x=y-1
z 2 masz, ze
\(\displaystyle{ (x-2)^2=y-2}\)

wyliczasz x i y podstawiasz do liczb poczatkowych ciagow i wyznacasz ich wzor ogolny, nalezy zwrocic uwage na to, ze oba sa rosnace

co do drugiego majac wzor na an i a1 oraz znajac r spokojnie ulozysz rownanie gdzie Sn=1120

pozdrawiam

@Grzegorz Getka, czy oby na pewno???
-1, 7 i 13 ??? czy to będą kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego???
myśle, że jest błąd w równaniach. powinno być: y-x=x+1 ,oraz 1/x-2=x-2/y-2
(chyba, że tam ma być 1 a nie -1)