Matematyka.pl

hej,
uczę się na sprawdzian z indukcji matematycznej i postanowiłam przerobić wszystkie zadania z książki jeszcze raz w ramach powtórki ale mam problem z jednym zadaniem:

Trzeba udowodnić za pomocą indukcji matematycznej, że \(\displaystyle{ \sum_{n}^{i=1} 3i(i=4) = \frac{n(n+1)(2n+13)}{2}}\) jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ n \in Z^{+}}\)

No to liczę:

\(\displaystyle{ 3 \cdot 1(1+4) + 3 \cdot 2(2+4) + 3 \cdot 3(3+4) + ... + 3 \cdot n(n+4) = \frac{n(n+1)(2n+13)}{2}}\)
krok 1.

Dla n=1
lewa strona równania = \(\displaystyle{ 3 \cdot 1(1+4) = 15}\)

prawa strona równania = \(\displaystyle{ \frac{1(1+1)(2 \cdot 1+13)}{2} = 15}\)


lewa strona równania = prawa strona równania, więc krok 1. jest prawdziwy

krok 2.

Stawiam tezę:

Jeśli \(\displaystyle{ 3 \cdot 1(1+4) + 3 \cdot 2(2+4) + 3 \cdot 3(3+4) + ... + 3 \cdot n(n+4) = \frac{n(n+1)(2n+13)}{2}}\) jest prawdziwe, to \(\displaystyle{ 3 \cdot 1(1+4) + 3 \cdot 2(2+4) + 3 \cdot 3(3+4) + ... + 3 \cdot n(n+4) + 3 \cdot (n+1)(n+1+4) = \frac{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+13)}{2}}\) też musi być prawdziwe.

Sprawdzam powyższą tezę:

\(\displaystyle{ 3 \cdot 1(1+4) + 3 \cdot 2(2+4) + 3 \cdot 3(3+4) + ... + 3 \cdot n(n+4) + 3 \cdot (n+1)(n+1+4) = \frac{n(n+1)(2n+13)}{2} + 3 \cdot (n+1)(n+1+4) = \frac{n(n+1)(2n+13)}{2} + \frac{3 \cdot 2 \cdot (n+1)(n+1+4)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+13) + 6 \cdot (n+1)(n+1+4)}{2}}\)

no i tu zaczyna się problem. Wiem, że to zadanie j e s t prawdziwe, ale nie wiem jak sprowadzić \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)(2n+13) + 6 \cdot (n+1)(n+1+4)}{2}}\) do formy \(\displaystyle{ \frac{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+13)}{2}}\)

Proszę pomóżcie!!! W poniedziałek mam sprawdzian

PS: uczę się matematyki w j. ang. więc jeśli jakieś oznaczenia itp. są żle to pewnie dlatego, że w ang. są inne.

wszystko jest dobrze i prawie skończyłaś, wyłącz \(\displaystyle{ (n+1)}\) przed nawias wymnóż to co zostanie, możesz liczyć deltę, albo możesz spróbować to jakoś zmyślnie poprzekształcać i wyjdzie.

dzięki za pomoc wyłanczałam \(\displaystyle{ (n+1)}\) przed nawias ale sprawdziłam notatki i okazało się, że w pewnym momencie mnożyłam zamiast dodawać

Jeśli nie wiesz, ja przejść od jednej postaci do drugiej, to nie rób tego. Oznacz sobie lewą i prawą stronę tezy literkami, np.: L i P, a potem liczysz je osobno.
\(\displaystyle{ L=\frac{n(n+1)(2n+13)+6\cdot (n+1)(n+1+4)}{2}=...}\) wymnóż wszystkie nawiasy
\(\displaystyle{ P=\frac{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+13)}{2}=...}\) zrób to samo co wcześniej
Teraz porównujesz liczby L i P. Jeśli obie są takie same, to znaczy, że udowodniłeś równość. Pod spodem po prostu dopisz L=P.