Matematyka.pl

\(\displaystyle{ 2^{1+2x+4x^{2}+... }}\) ≤ \(\displaystyle{ 2^{x+2}-2^{x+1}}\)
jak to rozwiazac??

W liczniku po lewej stronie nierownosci masz sume szeregu geometrycznego. Porob zalozenia, wstaw etc., poradzisz sobie.

wg mnie to powinno być x należy i

Po lewej stronie masz nieskonczony szereg geometryczny o ilorazie q = 2x. Zeby byl zbiezny musi zachodzić warunek \(\displaystyle{ |q| (-\frac{1}{2},\frac{1}{2})}\) Wzór na sume szeregu:

\(\displaystyle{ S_{n} = \frac{a_{1}}{1-q}}\)

Podstawiamy i wychodzi nam:

\(\displaystyle{ S_{n} = \frac{1}{1-2x}}\)

Czyli po podstawieniu mamy:

\(\displaystyle{ 2^{\frac{1}{1-2x}} q 2^{x+2} - 2^{x-1}}\)

Dalej rozwiazujesz zwykla nierownosc... chyba...

Kolejna mała podpowiedź:
prawą stronę przekształcasz do

\(\displaystyle{ 2^{x+2}-2^{x+1}=2^{x+1}(2-1)=2^{x+1}}\)

dalej wystarczy skorzystać z monotoniczność funkcji wykładniczej i dostaje się klasyczną nierówność

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-2x}\le x+1}\)