Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \cos 2 x + \sin x =0}\)

Ja to zrobiłem tak że sprowadziłem to do funkcji kwadratowej zmiennej t i wyszły mi dwa wyniki, a powinny wyjść trzy. Widać to nawet na wykresie tego równania, ale jak w obliczeniach się dochodzi do tego trzeciego rozwiązania?

Podstawiam za \(\displaystyle{ \cos 2 x = \cos ^ {2}x- \sin ^ {2}x}\)

\(\displaystyle{ \Large \cos ^ {2}x- \sin ^ {2}x+ \sin x =0}\)

Z jedynki trygonometrycznej podstawiasz za \(\displaystyle{ \cos ^ {2}x=1- \sin ^ {2}x}\)

\(\displaystyle{ \Large 1- \sin ^ {2}x- \sin ^ {2}x+ \sin x =0}\)

Ostateczny kształt równania:

\(\displaystyle{ \Large -2 \sin ^ {2}x+ \sin x +1=0}\)

Za t podstawiasz sin x i rozwiązujesz równanie kwadratowe, oczywiście należy założyć, że -1<=t<=1. Otrzymujesz

\(\displaystyle{ \Large t_{1}=1}\)

\(\displaystyle{ \Large t_{2}=- \frac{1}{2}}\)

Znając wykres funkcji sin u s dostajesz:

\(\displaystyle{ \Large 1= \sin x \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2k\pi}\)

\(\displaystyle{ \Large \sin x =- \frac{1}{2} \Rightarrow x=\frac{7}{6}\pi+2k\pi \vee x=\frac{11}{6}+2k\pi}\)