Matematyka.pl

Wykazać z definicji Cauchy'go

\(\displaystyle{ \lim_{\alpha \to 0} \frac{sin\alpha}{\alpha} = 1}\)

Moim zdaniem musze dojść od

\(\displaystyle{ |\frac{sin\alpha}{\alpha} - 1 | < \epsilon}\) do tego że \(\displaystyle{ |\alpha| < \delta}\)

dobrze myślę?
jeśli tak to:
Jak poprzekształcać wyrażenie w module?

Prawdziwa jest następująca nierówność:
\(\displaystyle{ \forall \alpha \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})- \{0\} \ 1-|\alpha| < \frac{sin \alpha}{\alpha} < 1+|\alpha|}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ -|\alpha|<\frac{sin \alpha}{\alpha} - 1 < |\alpha| => |\frac{sin \alpha}{\alpha} - 1|<|\alpha|}\)
Zatem jeżeli tylko \(\displaystyle{ \alpha < \epsilon}\) to możemy zapisać następujące zdanie prawdziwe:
\(\displaystyle{ \forall \epsilon>0 \ \exists \delta=min(\frac{\pi}{2}, \epsilon) \ \forall \alpha \neq 0 \ |\alpha|<\delta => |\frac{sin \alpha}{\alpha} - 1|<\epsilon}\)

Oczywiście \(\displaystyle{ \alpha}\) musi być tutaj podana w radianach.