Matematyka.pl

punkty przeciecia paraboli y=\(\displaystyle{ x^{2}-2x-8}\)z prosta 2x+y-1=0 są koncami przekątnej rombu, którego pole jest równe 30. Oblicz współrzędne wierzchołków tego rombu oraz długość jego boku.

Wyznacz wspolrzedne koncow tej przekatnej, oblicz jej dlugosc, skorzystaj z tego, ze \(\displaystyle{ S = \frac{d_1d_2}{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ S}\) - pole rombu, \(\displaystyle{ d_1, d_2}\) - dlugosci jego przekatnych. W ten sposob wyznaczysz dlugosc drugiej przekatnej. Teraz zauwaz, ze przekatne rombu sie polowia - z twierdzenia Pitagorasa wyznaczysz dlugosc boku. Dalej juz prosciutkie rachunki.

Obliczając pole rombu często korzysta się z jego przekątnych. Końce jednej z nich obliczysz obliczając układ równań:
y=x�-2x-8
2x+y-1=0
weź też pod uwagę, że mając długość jednej przekątnej oraz pole możesz obliczyć (ze wzoru na pole długość drugiej przekątnej). Oczywiście skorzystaj też z tego, że przekątne rombu dzielą się na połowy pod kątem prostym.

ale jak wyznaczyc współrzedne punktów? dfwa bede mial z przeciecia sie paraboli z prosta a reszte??

Zobacz, skoro będziesz już miał długości przekątnych, które
1) przecinają się pod kątem prostym
2) punkt przecięcia dzieli je na połowy
to z trójkątów prostokątnych będziesz mógł obliczyć z tw. Pitagorasa trzeci bok w trójkącie prostokątnym. Bo przecież te przekatne podzielą Ci romb na cztery trójkąty prostokątne i w każdej rozpatrywanej opcji masz do obliczenia przecwprostokatną, która jest równocześnie bokiem rombu. A przecież w rombie biki mają taką samą długość. Więc mając daną długość boku i współrzędne jednego z punktów mozesz obliczyć współrzędne drugiego ze wzoru na odległość między dwoma punktami. Np. mając długość odcinka AB oraz punkt A mozesz obliczyć współrzędne punktu B.

a jaki jest wzór na odległość miedzy dwoma punktami??

\(\displaystyle{ A=(x_{a};y_{a})}\)
\(\displaystyle{ B=(x_{b};y_{b})}\)
\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(x_{b}-x_{a})^{2}+(y_{b}-y_{a})^2}}\)

czyli wylicze z przeciecia dwa punkty (A oraz C)nastepnie oblicze długośc boku romba i podstawie do wzoru na długośc odcinka AB oraz na długość docinka CB ?? i z tego mam wyliczyc współrzedne odcinka C???

Możesz to jeszcze w taki sposób rozegrać. Mając już daną długość przekątnej dwa wierzchołki rombu z przecięciatyh dwóch wykresów, możesz wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez te dwa punkty i pokrywającej się z wiadomą przekątną. Dalej wyznaczyć prostą prostopadłą, która zawiera drugąprzekątnąi dwa pozostałe punkty. Dalej robisz tak jak podałam wcześniej.

a moze ktos napisac rozwiazanie tego?? bo sie juz pogubilem

Jeżeli ułożysz układ równań, o którym ju wspominałam to otrzymasz, że te dwa punkty np. A i B przez które przechodzi przekątna to A(-3;7) i B(3;-5) obliczając odległość ze wzoru, który podał Ci Yrch wyjdzie ci długość przekątnej czyli \(\displaystyle{ |AB|=3\sqrt{20}=d_{1}}\). Z kolei ze wzoru, który podaje Tomasz Rużycki obliczysz długość drugiej przekątnej \(\displaystyle{ 30=\frac{3\sqrt{20}{\cdot}d_{1}}{2}}\) czyli \(\displaystyle{ d_{2}=\sqrt{20}}\) teraz korzystając z trójkąta prostokątnego obliczasz długość boku rombu nazwijmy go "c" więc z twierdzenia Pitagorasa \(\displaystyle{ c^{2}=(\frac{3\sqrt{20}}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{20}}{2})^{2}}\) czyli \(\displaystyle{ c=5\sqrt{2}}\) teraz wyznacza prostą przechodzącą przez punkty A i B mi wyszło y=-2x+1 teraz wyznaczasz równanie prostej prostopadłej, która przechodzi przez dwa pozostałe punkty których, jeszcze nie znamy wtedy y=0,5x+1. Teraz możesz obliczyć te punkty ze wzoru na odległość:
np biorąc pod uwagę punkt B oraz punkt (x; 0,5x+1) będziesz mieć wtedy jedną niewiadomą. Jeśli po drodze nie zrobiłam błędu arytmetycznego to powstaną Ci dwa punkty np C i D
C(2;2) D(-2;0) sprawdź na wszelki wypadek poprawność obliczeń

karolina25 pisze:Np. mając długość odcinka AB oraz punkt A mozesz obliczyć współrzędne punktu B.

Ciekawe. W jaki sposób?

np. liczac współrzedne B mozesz skorzystac ze wzoru na odległośc dwóhc punktów poniewaz masz podane wspołrzedne jednego punktu oraz masz podana odległość odcinka i drugi punkt podany jest w postaci jednej niewiadomej zmiennej