Matematyka.pl

Rostrzygnij, czy dla każdej liczby \(\displaystyle{ x\in(0;\pi)}\) zachodzi równość \(\displaystyle{ \ctg x +\frac{ \sin x }{1+ \cos x }=\frac{1}{ \sin x }}\).

Mi się udało to doprowadzić do postaći \(\displaystyle{ \cos ^ {2}x=1}\). Ale to nie zachodzi dla każdego x z przedziału.

Musiałeś popełnić jakiś błąd rachunkowy, bo ta tożsamość jest rzeczywiście prawdziwa.

Tak, jest prawdziwa zrób tak: podstaw \(\displaystyle{ \ctg x =\frac{ \cos x }{ \sin x }}\) a to co jest po prawej stonie Twojego równania przenieś ze zmienionym znakiem na lewą stronę. Będzie tak:
\(\displaystyle{ \frac{ \cos x -1}{ \sin x }+\frac{ \sin x }{1+ \cos x }=0}\) teraz sprowadź do wspólnego mianownika i zobacz co się stanie:
\(\displaystyle{ \frac{( \cos x -1)( \cos x +1)+ \sin ^ {2}x}{ \sin x (1+ \cos x )}=0}\) teraz w mianowniku skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia oraz ze wzoru na jedynkę trygonometryczną.