Matematyka.pl

Witam, dlaczego pochodna z funkcji :
\(\displaystyle{ y=arcsinx + arcsin\sqrt{1-x^2}}\) równa jest zero?

\(\displaystyle{ y' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1-(1-x^2)}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x)}\)
Rozpatrując \(\displaystyle{ x \in [0;1]}\) mamy: \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0}\)

Sposób pierwszy: liczysz pochodną \(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}}\), otrzymujesz \(\displaystyle{ 0}\)
Sposób drugi: przekształcasz wyrażenie \(\displaystyle{ y=arcsinx+arcsin\sqrt{1-x^2}=(\frac{\pi}{2}-arccosx)+arccosx=\frac{\pi}{2}}\). Pochodna wyrażenia stałego jest oczywiście zerem.

Heh, ja wiem, że pochodna równa jest 0 i umiem ją policzyć. Pytanie brzmi dlaczego jest równa zero? Chodzi mi bardziej o przeksztalcenie wzoru funkcji na taki, żeby było widać, ze pochodna równa jest 0.

A co Ci napisal steal? Wyrażenie ma stałą wartość...

Na przyszlość, pisz bardziej konkretnie czego nie rozumiesz.

steal pisze:Sposób drugi: przekształcasz wyrażenie \(\displaystyle{ y=arcsinx+arcsin\sqrt{1-x^2}=(\frac{\pi}{2}-arccosx)+arccosx=\frac{\pi}{2}}\). Pochodna wyrażenia stałego jest oczywiście zerem.

Można to jakoś rozpisać? Bo nie bardzo to widzę...

Wyprowadzenia dwóch zależności z których skorzystałem w poprzedniej wiadomości:
1) \(\displaystyle{ arcsin\sqrt{1-x^2}=arccosx}\)
2) \(\displaystyle{ arcsinx+arccosx=\frac{\pi}{2}}\)

1) Oznaczmy \(\displaystyle{ A=arccosx}\)
Stąd: \(\displaystyle{ cosA=x}\). Podstawiamy następnie do jedynki trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ sin^2A+cos^2A=1 \iff sin^2A+x^2=1 \iff sinA=\sqrt{1-x^2} \iff \\ \iff A=arcsin\sqrt{1-x^2}}\)
Czyli otrzymujemy zależność: \(\displaystyle{ arccosx=arcsin\sqrt{1-x^2}}\)

2) Oznaczmy \(\displaystyle{ A=arcsinx}\)
\(\displaystyle{ sinA=sin(arcsinx) \iff sinA=x \iff cos(\frac{\pi}{2}-A)=x \iff \\ \iff arccos cos(\frac{\pi}{2}-A)=arccosx \iff \frac{\pi}{2}-A=arccosx}\)
Czyli otrzymujemy zależność: \(\displaystyle{ arcsinx+arccosx=\frac{\pi}{2}}\)

Ja to wszystko rozumiem, nie rozumiem natomiast dlaczego \(\displaystyle{ arcsin\sqrt{1-x^2}=arccosx}\)

Skoro rozumiesz, to dlaczego stwierdzasz, że nie wiesz skąd takie przekształcenie? Przedstawiłem Ci sposób na dojście z wyrażenia \(\displaystyle{ arccosx}\) do wyrażenia \(\displaystyle{ arcsin\sqrt{1-x^2}}\), a więc równości która zachodzi między nimi. Zapewne istnieje jakaś interpretacja geometryczna tej równości, jednak takowej nie znam.