Matematyka.pl

Ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) określony jest rekurencyjnie w następujący sposób:
\(\displaystyle{ a_{1}=3}\) i \(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{a_{n}}{a_{n}+1}}\), dla n ≥ 1. Wyznacz wzór ogólny tego ciągu.

Ma ktoś pomysł?

no tak, jakoś do tego doszedłem, ale nie ma żadnej metody na to? "na farta" trzeba?

Wyznaczasz kolejne wyrazy i próbujesz znaleźć jakąś zależność

Witam,

można też tak:

\(\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{a_n}{a_n+1}=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{\ \frac{a_{n-1}}{a_{n-1}+1}\ }{\ \ \frac{a_{n-1}}{a_{n-1}+1}+1\ \ } =\frac{a_{n-1}}{2a_{n-1}+1}=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{\ \frac{a_{n-2}}{a_{n-2}+1}\ }{\ \ 2\frac{a_{n-2}}{a_{n-2}+1}+1\ \ } =\frac{a_{n-2}}{3a_{n-2}+1}=}\)

\(\displaystyle{ \dots=\frac{a_{1}}{n a_{1}+1}.}\)

Resztę chyba już łatwo dopracować...

Pozdrawiam!