Matematyka.pl

Rozłóz wielomiany \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}-\sqrt{5}x^{2}+9x-9\sqrt{5}}\) i \(\displaystyle{ P(x)=x^{4}-25}\) na czynniki. Wyznacz wspolny pierwiastek tych wielomianów.

jesli ktos potrafi to rozwiazac to bardzo prosze o rozwiazanie, gdyz ja nie moge tego pojac, chociaz pare osob mi to juz tlumaczylo..

P(x) możesz rozłożyć stosując wzór skróconego mnożenia: \(\displaystyle{ a^2-b^2=(a-b)(a+b)}\)
\(\displaystyle{ x^4-25=(x^2-5)(x^2+5)=(x- \sqrt{5})(x+ \sqrt{5})(x^2+5)}\)

W(x) grupując wyrazy:
\(\displaystyle{ x^3- \sqrt{5} x^2+9x-9 \sqrt{5} =x^2(x-\sqrt{5} )+9(x-\sqrt{5} )=(x^2+9)(x-\sqrt{5} )}\)

i teraz możesz wskazać wspólny pierwiastek

z tym \(\displaystyle{ x^{4}-25}\) do pewnego momentu myslałam tak samo, a dokładniej to do \(\displaystyle{ (x^{2}-5)(x^{2}+5)}\). ...

a o co chodzi z tym "wyznacz wspolny pierwiastek tych wielomianów"?
... ten wspolny pierwiastek to: \(\displaystyle{ (x- \sqrt{5} )}\) czy samo: \(\displaystyle{ \sqrt{5}}\)

\(\displaystyle{ W(x) = x^2(x- \sqrt{5})+9(x- \sqrt{5}) = (x^2+9)(x- \sqrt{5} )}\)

\(\displaystyle{ P(x) = (x^2-25)(x^2+25) = (x- \sqrt{5})(x+ \sqrt{5})(x^2+25)}\)

wspólny czynnik obu wielomianów to \(\displaystyle{ x- \sqrt{5}}\) a więc wspólnym pierwiastkiem wielomianó bedzie

\(\displaystyle{ x- \sqrt{5}=0 \Rightarrow x= \sqrt{5}}\)

aha, dziękuję.