Czterocyfrowe liczby podzielne przez 11
: 17 paź 2009, o 20:23
ile jest takich czterocyfrowych liczb podzielnych przez 11, ktorych cyfra setek o cyfra jednosci jest 8? podaj najmniejsza oraz najwieksza liczbe o tej wlasnosci
Liczba dzieli się przez 11, kiedy różnica między sumą cyfr stojących na miejscach parzystych (licząc od prawej strony) i sumą cyfr stojących na miejscach nieparzystych jest wielokrotnością liczby 11 lub jest równa 0.
Zapiszmy naszą czterocyfrową liczbę w postaci: . . . . . . \(\displaystyle{ X8Y8}\)
Mamy dwie możliwości
\(\displaystyle{ \begin{cases} (X+Y)-(8+8)=0\\(8+8)-(X+Y)=0\\(X+Y)-(8+8)=11k\\(8+8)-(X+Y)=11k\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (X+Y)=16\\(X+Y)=11k+16\\16-11k=X+Y\end{cases}}\)
Teraz sprawdzamy jakie cyfry mogą spełniac nasz układ równań. Z pierwszego równania mamy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} X=8\\Y=8\end{cases}}\) . . . . . . \(\displaystyle{ \vee}\) . . . . . . \(\displaystyle{ \begin{cases} X=9\\Y=7\end{cases}}\) . . . . . . \(\displaystyle{ \vee}\) . . . . . . \(\displaystyle{ \begin{cases} X=7\\Y=9\end{cases}}\)
Ponieważ suma dwóch cyfr nie może być większa niż 18, drugie równanie ma rozwiązanie tylko dla \(\displaystyle{ k=0}\), z czego otrzymujemy pierwsze równanie.
W trzecim równaniu analogicznie do poprzedniego, aby były rozwiązania, mysi być \(\displaystyle{ k=1}\) (bowiem 16-11k nie może być ujemne). Czyli . . . . . .
\(\displaystyle{ X+Y=5}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} X=1\\Y=4\end{cases}}\) . . . . . . \(\displaystyle{ \vee}\) . . . . . . \(\displaystyle{ \begin{cases} X=2\\Y=3\end{cases}}\) . . . . . . \(\displaystyle{ \vee}\) . . . . . . \(\displaystyle{ \begin{cases} X=3\\Y=2\end{cases}}\) . . . . . . \(\displaystyle{ \vee}\) . . . . . . \(\displaystyle{ \begin{cases} X=4\\Y=5\end{cases}}\)
Zatem rozwiązaniami są liczby: \(\displaystyle{ 8888}\) ,. . \(\displaystyle{ 1848}\) , . .\(\displaystyle{ 2838}\) ,. . \(\displaystyle{ 3828}\) ,. . \(\displaystyle{ 4818}\) ,. . \(\displaystyle{ 7898}\) . . i . . \(\displaystyle{ 9878}\) .
Pozdrawiam