ciąg rekurencyjny

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

ciąg rekurencyjny

Post autor: robin5hood » 15 paź 2009, o 19:50

Niech \(\displaystyle{ x_1 = 1, x_2 = 1, x_{n+2} = x_{n+1}^2 - \frac{x_n}{2}}\). Pokazać zbiezność i znaleźć granice.

Awatar użytkownika
Maciej87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 377
Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 46 razy

ciąg rekurencyjny

Post autor: Maciej87 » 16 paź 2009, o 00:44

Niech \(\displaystyle{ y_n = \left|x_n\right|}\). Dla pewnych dwóch kolejnych \(\displaystyle{ n}\) jest \(\displaystyle{ y_n \leqslant \frac{1}{4}}\) i dalej z nierówności trójkąta i indukcji jest podobnie, zatem \(\displaystyle{ \left|x_n\right| = y_n\leqslant \frac{1}{4}}\) dla \(\displaystyle{ n> n_0}\). Mamy
\(\displaystyle{ y_{n+2} \leqslant y_{n+1}^2 + \frac{1}{2} y_n \leqslant \frac{1}{4}y_{n+1}+\frac{1}{2}y_n}\).
Z tego oszacowania wynika już, że \(\displaystyle{ y_n \rightarrow 0}\).
(Można rozwinąć rekurencję albo policzyć wartości własne albo cokolwiek)

ODPOWIEDZ