2 nierówności z indukcji mate

[mixmix]

Metodą indukcji matematycznej uzasadnić nierówności:

1. \(\displaystyle{ n!>2^{n}}\) dla n>>4
2. \(\displaystyle{ \frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{n^{2}}<<2-\frac{1}{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \in N}\)

[macciej91]

1.
Sprawdzienie dla n = 4:
\(\displaystyle{ 4! = 24 > 2^{4} = 16}\)
Udowodnimy \(\displaystyle{ n! > 2^{n} \Rightarrow (n+1)! > 2^{n+1}}\)
Istotnie:
\(\displaystyle{ (n+1)! = n!(n+1) > 2^{n} * (n+1)> 2^{n} * 2 = 2^{n+1}}\), bo \(\displaystyle{ n+1 > 2}\)