Matematyka.pl

Miałbym prośbę o takie jasne wytłumaczenie pewnego przykładu, czytam książkę o teorii mnogości i jest definicja:

Rodzinę podzbiorów A, ustalonej przestrzeni S nazywamy ciałem zbiorów (ciałem podzbiorów S) , jeśli spełnia następujące warunki:
(1) S \(\displaystyle{ \in}\)A
itd.

wszystko klarowne i dalej ( przez "O" mam namyśli zbiór pusty) :
jest Przykład:
(1) Rodzina {O,S} jest ciałem podzbiorów zbioru S
(2)Rodzina P(S) jest ciałem podzbiorów zbioru S. Zauważmy przy tym , ze jeśli A jest ciałem podzbiorów S, to:
{O, S} \(\displaystyle{ \subseteq}\)A\(\displaystyle{ \subseteq}\) P(S)

moje pytanie dotyczy tego P(S) - zbiór potęgowy zbioru S, czyli zawiera wszystkie podzbiory zbioru S, dlaczego to jest nadzbiór nawet A skoro S \(\displaystyle{ \in}\)A
mam nadzieję, że rozumiecie o co mi chodzi , dzięki z góry za pomoc

Bo to jest zawieranie na innym poziomie - rodzin podzbiorów S.
Chodzi o to, że w P(S) są wszystkie podzbiory zbioru S, a w A mogą być tylko niektóre podzbiory zbioru S.

JK

Jan Kraszewski pisze:w A mogą być tylko niektóre podzbiory zbioru S.

{O, S} \(\displaystyle{ \subseteq A \subseteq P(S)}\)

skoro A jest nadzbiorem {O,S} tzn zawiera w sobie wszystkie zbiory znajdujące się w przestrzeni S a także ich dopełnienia (czyli jak jakiś "x" należy do któregokolwiek zbioru S, to też na pewno należy do tego A , tak to rozumuje, a więc P(S) powinno być podzbiorem A, bo to P(S) jest rodziną wszystkich zbiorów będących w S, czyli powinno być :

{O, S} \(\displaystyle{ \subseteq P(S) \subseteq A}\)

jasiuu23 pisze:skoro A jest nadzbiorem {O,S} tzn zawiera w sobie wszystkie zbiory znajdujące się w przestrzeni S

Ależ skąd! Mylisz poziomy złożoności. Skoro \(\displaystyle{ A}\) jest nadzbiorem \(\displaystyle{ \{\emptyset, S\}}\), to zbiór pusty i zbiór \(\displaystyle{ S}\) są elementami zbioru \(\displaystyle{ A}\). Nic konkretnego nie wiesz na temat przynależności podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ S}\) do \(\displaystyle{ A}\).

Inaczej: odrywając się na chwilę od Twego zadania zastanów się, czy jeśli \(\displaystyle{ B \subseteq C}\) i \(\displaystyle{ C\in D}\), to \(\displaystyle{ B\in D}\)?

JK

super, dzięki, równy z Ciebie gość, już teraz kapuję o co biega , masz oczywiście plusy za pomoc