Matematyka.pl

w \(\displaystyle{ C[x]}\) i \(\displaystyle{ R[x]}\)

\(\displaystyle{ w(z)=z^4 + 6z^2 + 25}\)

WIelomian jest nierozkladalny w R, tak? Podstawilem za \(\displaystyle{ z^2 = t}\) delta wyszła ujemna więc nie da się tego rozłożyć w liczbach rzeczywistych, dobrze mówie?

W \(\displaystyle{ C[x]}\) sobie poradziłem.

Jeszcze jedno pytanie, czy wielomian może być rozłożony tak że w \(\displaystyle{ C[x]}\) i\(\displaystyle{ R[x]}\)wygląda tak samo?

Ten wielomian jest rozkładalny w wielomianach rzeczywistych. Tak zwaną Deltą i podstawieniem argumentujesz jedynie, że nie posiada pierwiastków rzeczywistych. To nie oznacza, że nie może się rozłożyć np. na dwa wielomiany kwadratowe (i tak istotnie jest).
Ogólnie wielomiany rzeczywiste rozkładają się zawsze na czynniki stopnia \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\).

Żeby rozkład wyglądał tak samo, wielomian musi być rzeczywisty i mieć wszystkie pierwiastki rzeczywiste.

Czy może mi to ktoś zacny sprawdzić?

\(\displaystyle{ w(z)=z^4 - 3 - 4j}\) rozłożyć w \(\displaystyle{ C[x]}\)
\(\displaystyle{ =z^4 - (3+4j)=(z^2 -\sqrt{3+4j})(z^2 +\sqrt{3+4j})=(z-\sqrt[4]{3+4j})(z+\sqrt[4]{3+4j})(z^2 +\sqrt{3+4j})}\)

\(\displaystyle{ (z^2 +\sqrt{3+4j})=0}\)
\(\displaystyle{ z^2 =-\sqrt{3+4j}}\)
\(\displaystyle{ (\frac{z}{-\sqrt[4]{3+4j}})^2=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{z}{-\sqrt[4]{3+4j}}=w \Rightarrow w^2 =1 \Leftrightarrow w=-1 \vee w=1 \Rightarrow}\)

\(\displaystyle{ z=-\sqrt[4]{3+4j} \vee z=\sqrt[4]{3+4j}}\)

\(\displaystyle{ w(z)=(z-\sqrt[4]{3+4j})^2 (z+\sqrt[4]{3+4j})^2}\)

dobrze jest?

To nie oznacza, że nie może się rozłożyć np. na dwa wielomiany kwadratowe (i tak istotnie jest).

Jak go rozłożyć na dwa kwadratowe? Bo kombinuje, myślę i coś nie wychodzi.

ehh
\(\displaystyle{ (z^2+2z+5)(z^2-2z+5)}\) tak?
chwile zaćmienie miałem heh