Matematyka.pl

Witam, mam pewien problem:) W podobnych zadaniach tego typu (dla pierwiastków kwadratowych) udowodnienie równości nie stanowi zwykle problemu, ponieważ zwykle wartość pod pierwiastkem można zapisać wzorem skróconego mnożenia, ale tutaj utknąłem:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1}\)

Powninien byc plus miedzy tymi pierwiastkami.

\(\displaystyle{ 2+\sqrt{5} = \frac{1}{8}\left(16+8\sqrt{5}\right) = \frac{1}{8}(1+\sqrt{5})^3}\), teraz widac?

Tak, mój błąd, plus powinien być. Dziękuję ślicznie za odpowiedź

wydaje mi sie ze dalo by sie rowniez zrobic pewnie w bardziej skomplikowany sposob niz wyjasniony powyzej, a mianowicie obliczyc wartosc wyrazenia po lewej stronie podnoszac do szescianu wszystko by sie ladnie poupraszczalo i pewnie mozna by bylo zastosowac jakis wspolczynnik t, przynajmniej tak bylo w podobnym zadaniu, ktore rozwiazywalem

Ostatnio przeczytałem o jeszcze innym sposobie rozwiązywania tego typu zadań. W tym przypadku mamy:
Niech \(\displaystyle{ a= \sqrt[3]{2+ \sqrt{5}}, b=\sqrt[3]{2- \sqrt{5}}}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ ab=\sqrt[3]{ (2+ \sqrt{5})(2-\sqrt{5})}=\sqrt[3]{4-5}=\sqrt[3]{-1}=-1}\) i \(\displaystyle{ a^3+b^3=(2+ \sqrt{5})+(2- \sqrt{5})=4}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ a^3+b^3=(a+b)((a+b)^2 -3ab)}\), więc otrzymujemy stąd równość:
\(\displaystyle{ (a+b)((a+b)^2 +3)=1 (1^2 +3)}\)
Wobec tego, że funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x(x^2+3)}\) jest funkcją rosnącą, a więc różnowartościową, wnioskujemy stąd, że rzeczywiście \(\displaystyle{ a+b=1}\).

To jest dobre tylko wtedy, gdy znany jest wynik takowego wyrażenia niestety. I wymaga wiedzy teoretycznej ;p