Matematyka.pl

Z urny, w której znajduje się \(\displaystyle{ 10}\) kul białych i \(\displaystyle{ 5}\) czarnych, losujemy dwukrotnie po jednej kuli. \(\displaystyle{ A}\) oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu kul o różnych kolorach, a zdarzenie \(\displaystyle{ B}\) - na wylosowaniu kul w tym samym kolorze.
a) Oblicz \(\displaystyle{ P(A)}\) i \(\displaystyle{ P(B)}\), zakładając, że losowanie kul odbywa się ze zwracaniem.
b) Ile kul czarnych należy dołożyć do urny, aby \(\displaystyle{ P(A)=P(B)}\), jeśli losujemy kule bez zwracania?

jezeli losowanie odbywa sie ze zwracniem to wszytkich jednakowo mozliwych przypadkow jest \(\displaystyle{ 15^{2}}\)
zdarzeniu A sprzyja \(\displaystyle{ 2*10*5}\) jednakowo mozliwych przypadkow.... bo kazda z 10 kul bialych moze byc wylosowana z kazda z 5 kul czarnych i na odwrot (tzn. wazna jest kolejnosc wylosowania kuli),
czyli \(\displaystyle{ P(A)=\frac{2*10*5}{15^2}}\)
\(\displaystyle{ P(B)=1-P(A)}\)

b)
\(\displaystyle{ P(A) = P(B)}\)
sa rozlaczne czyli
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2 \cdot 10 \cdot \left(5+k \right) }{ \left( 15+k\right) \cdot \left( 15+k-1 \right) } = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ 40 \cdot \left( 5+k\right) = \left(15+k \right) \cdot \left(14+k \right)}\)

\(\displaystyle{ 200+40 \cdot k = 210 + 29 \cdot k+k ^{2}}\)

\(\displaystyle{ k ^{2} -11 \cdot k + 10 = 0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 121 - 40 = 81}\)

\(\displaystyle{ k _{1} = \frac{11-9}{2} = 1}\)
\(\displaystyle{ k _{2} = \frac{11+9}{2} = 10}\)

Odp. nalezy dolozyc 1 lub 10 kul czarnych