Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} e^{-x}, gdy \ x \ge 0 ; \\0, gdy \ x<0; \end{cases}}\) bedzie gestoscia prawdopodobienstwa zmiennej losowej X typu ciągłego. Wyznacz
A) dystrybuante zmiennej losowej X
B) mediane oraz wartosc oczekiwana tej zmiennej losowej
C) \(\displaystyle{ P(x \ge 1)}\) korzystajac z dystrybuanty

Z góry dzięki

Twoja gęstość jest gęstością zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=1}\). Stąd
\(\displaystyle{ F_\xi(t)=1-e^{-t}}\) dla \(\displaystyle{ t\geq 0}\), w pozostałych przypadkach 0.
Mediana to nic innego jak rozwiązanie poniższego równanie, ze względu na \(\displaystyle{ t}\)
\(\displaystyle{ F_\xi(t)=1-e^{-t}=\frac{1}{2}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ me=\ln{2}}\)
Wartość oczekiwana wynosi 1.
\(\displaystyle{ P(X\leq 1)=1-P(X<1)=1-P(0<X<1)=1-F(1)+F(0)=1-F(1)=e^{-1}}\)