Matematyka.pl

Witam. mam wielki problem tym zadaniem. Prosze o pomoc bo siedzialem moze ze 2 godziny i nic.

Jednym z rozwiazan rownania \(\displaystyle{ 3x^3 + ax^2 + bx + 12 = 0}\), gdzie \(\displaystyle{ a; b\ \in \mathbb{Z}}\), jest liczba \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}}\). Znajdz \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).

Sory ze nie uzywalem tego programu do pisania wyrazen ale jestem taki wkurzony ze nawet nie zagladalem do niego a ze jestem nowy to od razu napisalem posta i prosze o szybka pomoc.

Podziel wielomiany przez siebie lub skorzystaj ze schmatu Hornera. W początkowym wielomianie podstaw pod x pierwiastek i zobacz, co można z tym dalej zrobić

Podstawmy:
\(\displaystyle{ 30 + 18 \sqrt{3} + 4a + 2a \sqrt{3} + b + \sqrt{3} + 12 = 0}\)
\(\displaystyle{ (42 + 4a + b) + \sqrt{3} (18 + 2a + 1) = 0}\)
\(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są całkowite, więc mamy pewność, że nie ma tak fajnie, że nam "przerobią" pierwiastek na liczbę całkowitą, co oznacza, że nie może być ani jeden pierwiastek. Skoro tak, to pierwszy nawias też musi być równy zero. Został Ci więc do rozwiązania układ równań, z którym Cię zostawię:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 42 + 4a + b = 0 \\ 18 + 2a + 1 = 0 \end{cases}}\)

z tym ze z drugiej linijki juz wychodzi a=-9.5 a w odpowiedziach pisze ze a wyjdzie -12


ok u ciebie byl maly blad w obliczeniach ale po jego poprawieniu wychodzi a=-12. moglbys mi jeszce wytlumaczyc dlaczego te nawiasy maja byc rowne zero?? bo nie za bardzo kapuje.

Cóż, po wstawieniu otrzymujesz kilka wyrażeń z pierwiastkiem. Jako, że współczynniki są całkowite, to te wyrażenia są niewymierne - a co za tym idzie, nie wyzerujesz ich wyrażeniami wymiernymi. Więc skoro nie wyzerujesz ich innymi, to same z siebie muszą być równe zero - i stąd pierwsze równanie. Dalej, jeżeli wyrażenia z pierwiastkami są równe zero, to pozostają tylko te bez pierwiastków - i one też muszą być równe zero (co wynika z treści zadania, w którym przecież każą Ci przyrównać wielomian do zera). Z tego mamy drugie równanie. Dwa równania z dwoma niewiadomymi - no to cieszymy się, rozwiązujemy układ i jak wyjdzie, to kończymy.

Za błędy obliczeniowe przepraszam, zawsze byłem bardzo słaby z arytmetyki.

wielkie dzieki za pomoc.