Matematyka.pl

1.*Dane jest koło o promieniu r i wpisany w to koło trójkąt ostrokątny. Sprawdź, czy obwód tego trójkąta jest mniejszy od 6r.

2.*Wykaż, że jeżeli trójkąt jest prostokątny, to 2R+r=p, gdzie R jest promieniem okręgu opisanego na trójkącie, r promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt, a p jest połową obwodu trójkąta.

1. Korzystam wprost z twierdzenia sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{a}{ \sin }=\frac{b}{ \sin \beta}=\frac{c}{ \sin \gamma}=2R}\)
Skoro trójkąt jest ostrokątny, to sinus każdego z kątów przyjmuje wartości mniejsze, niż 1.
Obwód tego trójkąta to:
\(\displaystyle{ a+b+c= 2R \sin +2R \sin \beta + 2R \sin \gamma=2R( \sin + \sin \beta + \sin \gamma)}\)